Номер 28.35, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.35. Найдите все значения x, при которых числа $a$, $b$, $c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, если:

а) $a = \cos 7x, b = \cos 2x, c = \cos 11x$;

б) $a = \sin 3x, b = \cos x, c = \sin 5x$.

а)

Для того чтобы три числа $a$, $b$, $c$ в указанном порядке являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних, то есть $b^2 = ac$.

Подставим данные значения $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$, $c = \cos 11x$ в это равенство:

$\cos^2(2x) = \cos(7x) \cdot \cos(11x)$

Преобразуем обе части этого уравнения с помощью тригонометрических формул. Левую часть преобразуем по формуле понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. Правую часть — по формуле преобразования произведения косинусов в сумму $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$.

$\frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(11x + 7x) + \cos(11x - 7x))$

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(18x) + \cos(4x))$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(4x) = \cos(18x) + \cos(4x)$

Вычтем $\cos(4x)$ из обеих частей уравнения:

$1 = \cos(18x)$

Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:

$18x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Разделим на 18, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi k}{18} = \frac{\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Аналогично пункту а), используем условие $b^2 = ac$. Подставим в него заданные выражения $a = \sin 3x$, $b = \cos x$, $c = \sin 5x$:

$\cos^2(x) = \sin(3x) \cdot \sin(5x)$

Для преобразования этого уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Левую часть преобразуем по формуле понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. Правую часть — по формуле преобразования произведения синусов в сумму $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(5x - 3x) - \cos(5x + 3x))$

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(8x))$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(2x) = \cos(2x) - \cos(8x)$

Вычтем $\cos(2x)$ из обеих частей:

$1 = -\cos(8x)$

Отсюда получаем $\cos(8x) = -1$.

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$8x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 8, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{8} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.