Номер 29.1, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Представьте в виде суммы:

29.1. a) $ \sin 23^\circ \sin 32^\circ; $

б) $ \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8}; $

в) $ \sin 14^\circ \cos 16^\circ; $

г) $ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{5}. $

а) Для преобразования произведения синусов в сумму используем формулу произведения синусов: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.
В данном случае $ \alpha = 23^\circ $ и $ \beta = 32^\circ $.
Подставляем значения в формулу: $ \sin 23^\circ \sin 32^\circ = \frac{1}{2}(\cos(23^\circ - 32^\circ) - \cos(23^\circ + 32^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-9^\circ) - \cos(55^\circ)) $.
Так как функция косинуса является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $, мы можем записать $ \cos(-9^\circ) = \cos(9^\circ) $.
В результате получаем: $ \frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ) $

б) Для преобразования произведения косинусов в сумму используем формулу произведения косинусов: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $.
Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $.
Подставляем значения в формулу: $ \cos\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8}\right)\right) $.
Найдем сумму и разность углов, приведя дроби к общему знаменателю 24: $ \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi - 3\pi}{24} = -\frac{\pi}{24} $
$ \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi + 3\pi}{24} = \frac{5\pi}{24} $
Подставляем обратно в выражение: $ \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right) $.
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{5\pi}{24}\right) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{5\pi}{24}\right) $

в) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используем формулу: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.
В этом примере $ \alpha = 14^\circ $ и $ \beta = 16^\circ $.
Подставляем значения: $ \sin 14^\circ \cos 16^\circ = \frac{1}{2}(\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ - 16^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 30^\circ + \sin(-2^\circ)) $.
Так как функция синуса является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $, то $ \sin(-2^\circ) = -\sin 2^\circ $.
Выражение принимает вид: $ \frac{1}{2}(\sin 30^\circ - \sin 2^\circ) $.
Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, можно упростить выражение: $ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \sin 2^\circ\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin 2^\circ $.
Ответ: $ \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin 2^\circ $

г) Данное выражение имеет вид $ 2\sin\alpha\cos\beta $. Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ 2\sin\alpha \cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $.
Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{5} $.
Подставляем значения в формулу: $ 2\sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{5} = \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{5}\right) $.
Найдем сумму и разность углов, приведя дроби к общему знаменателю 40: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi + 8\pi}{40} = \frac{13\pi}{40} $
$ \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi - 8\pi}{40} = -\frac{3\pi}{40} $
Подставляем полученные значения: $ \sin\left(\frac{13\pi}{40}\right) + \sin\left(-\frac{3\pi}{40}\right) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем: $ \sin\frac{13\pi}{40} - \sin\frac{3\pi}{40} $.
Ответ: $ \sin\frac{13\pi}{40} - \sin\frac{3\pi}{40} $