Номер 29.4, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.4. a) $ \sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ $;

б) $ 4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ $.

а) Для преобразования произведения $ \sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ $ в сумму необходимо последовательно применить формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Сначала преобразуем произведение первых двух множителей, используя формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

$ \sin 10^\circ \cos 8^\circ = \frac{1}{2}(\sin(10^\circ+8^\circ) + \sin(10^\circ-8^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 18^\circ + \sin 2^\circ) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и раскроем скобки:

$ \frac{1}{2}(\sin 18^\circ + \sin 2^\circ) \cos 6^\circ = \frac{1}{2}\sin 18^\circ \cos 6^\circ + \frac{1}{2}\sin 2^\circ \cos 6^\circ $

Снова применим формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $ к каждому из полученных слагаемых:

$ \frac{1}{2}\sin 18^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(18^\circ+6^\circ) + \sin(18^\circ-6^\circ)) = \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ) $

$ \frac{1}{2}\sin 2^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(2^\circ+6^\circ) + \sin(2^\circ-6^\circ)) = \frac{1}{4}(\sin 8^\circ + \sin(-4^\circ)) = \frac{1}{4}(\sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $

Сложив результаты, получаем окончательное выражение:

$ \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ) + \frac{1}{4}(\sin 8^\circ - \sin 4^\circ) = \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $

Ответ: $ \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $.

б) Для преобразования выражения $ 4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ $ в сумму, представим его в виде $ 2 \cdot (2 \sin 25^\circ \cos 15^\circ) \cdot \sin 5^\circ $ и применим формулы преобразования произведения в сумму.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя формулу $ 2\sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $:

$ 2 \sin 25^\circ \cos 15^\circ = \sin(25^\circ+15^\circ) + \sin(25^\circ-15^\circ) = \sin 40^\circ + \sin 10^\circ $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ 2(\sin 40^\circ + \sin 10^\circ) \sin 5^\circ = 2 \sin 40^\circ \sin 5^\circ + 2 \sin 10^\circ \sin 5^\circ $

Теперь к каждому слагаемому применим формулу произведения синусов $ 2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $:

$ 2 \sin 40^\circ \sin 5^\circ = \cos(40^\circ-5^\circ) - \cos(40^\circ+5^\circ) = \cos 35^\circ - \cos 45^\circ $

$ 2 \sin 10^\circ \sin 5^\circ = \cos(10^\circ-5^\circ) - \cos(10^\circ+5^\circ) = \cos 5^\circ - \cos 15^\circ $

Сложим полученные выражения:

$ (\cos 35^\circ - \cos 45^\circ) + (\cos 5^\circ - \cos 15^\circ) = \cos 5^\circ + \cos 35^\circ - \cos 15^\circ - \cos 45^\circ $

Зная, что $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем окончательный вид выражения:

$ \cos 5^\circ + \cos 35^\circ - \cos 15^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \cos 5^\circ + \cos 35^\circ - \cos 15^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2} $.