Номер 29.8, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.8. a) $\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1}{4}$

б) $4 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = 3 - 4 \sin^2 x$

а)

Рассмотрим уравнение $ \sin^2 x + \cos(\frac{\pi}{3} - x) \cos(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{1}{4} $.

Для преобразования произведения косинусов воспользуемся формулой $ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x $.

Получаем:

$ \cos(\frac{\pi}{3} - x)\cos(\frac{\pi}{3} + x) = \cos^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 x $.

Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, следовательно $ \cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $.

Подставим это значение в преобразованное выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{3} - x)\cos(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{1}{4} - \sin^2 x $.

Теперь подставим полученный результат в исходное уравнение:

$ \sin^2 x + (\frac{1}{4} - \sin^2 x) = \frac{1}{4} $.

Упрощая левую часть, получаем верное равенство:

$ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

Так как мы получили тождество, верное для любых значений $ x $, решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: $ x \in \mathbb{R} $.

б)

Рассмотрим уравнение $ 4\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = 3 - 4\sin^2 x $.

Преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулой $ \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x $.

Получаем:

$ \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 x $.

Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно $ \sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Подставим это значение в левую часть исходного уравнения:

$ 4\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = 4(\frac{3}{4} - \sin^2 x) = 3 - 4\sin^2 x $.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$ 3 - 4\sin^2 x = 3 - 4\sin^2 x $.

Мы получили тождество, верное для любых значений $ x $. Следовательно, решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: $ x \in \mathbb{R} $.