Номер 29.10, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.10. $\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \cos 75^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha.$

29.10.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ), чтобы показать, что она равна правой части (ПЧ), то есть $sin(2\alpha)$.

Исходное выражение: $cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) - cos 75^\circ sin(75^\circ - 2\alpha)$.

1. Преобразуем первые два слагаемых, используя формулу понижения степени $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$cos^2(45^\circ - \alpha) = \frac{1 + cos(2(45^\circ - \alpha))}{2} = \frac{1 + cos(90^\circ - 2\alpha)}{2}$.

Используя формулу приведения $cos(90^\circ - \beta) = sin(\beta)$, получаем:

$\frac{1 + cos(90^\circ - 2\alpha)}{2} = \frac{1 + sin(2\alpha)}{2}$.

Аналогично для второго слагаемого:

$cos^2(60^\circ + \alpha) = \frac{1 + cos(2(60^\circ + \alpha))}{2} = \frac{1 + cos(120^\circ + 2\alpha)}{2}$.

Теперь разность первых двух слагаемых равна:

$cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) = \frac{1 + sin(2\alpha)}{2} - \frac{1 + cos(120^\circ + 2\alpha)}{2} = \frac{sin(2\alpha) - cos(120^\circ + 2\alpha)}{2}$.

2. Преобразуем третье слагаемое: $-cos 75^\circ sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Сначала используем формулу приведения: $cos 75^\circ = cos(90^\circ - 15^\circ) = sin 15^\circ$.

Выражение принимает вид: $-sin 15^\circ sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Применим формулу произведения синусов $sin A sin B = \frac{1}{2}(cos(A-B) - cos(A+B))$:

$-sin 15^\circ sin(75^\circ - 2\alpha) = -\frac{1}{2}[cos(15^\circ - (75^\circ - 2\alpha)) - cos(15^\circ + 75^\circ - 2\alpha)]$.

$= -\frac{1}{2}[cos(-60^\circ + 2\alpha) - cos(90^\circ - 2\alpha)]$.

Используя свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$ и формулу приведения $cos(90^\circ - y) = sin(y)$, получаем:

$= -\frac{1}{2}[cos(60^\circ - 2\alpha) - sin(2\alpha)] = \frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(60^\circ - 2\alpha)$.

3. Теперь сложим преобразованные части.

ЛЧ = $(\frac{sin(2\alpha) - cos(120^\circ + 2\alpha)}{2}) + (\frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(60^\circ - 2\alpha))$.

ЛЧ = $\frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(120^\circ + 2\alpha) + \frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(60^\circ - 2\alpha)$.

ЛЧ = $sin(2\alpha) - \frac{1}{2}[cos(120^\circ + 2\alpha) + cos(60^\circ - 2\alpha)]$.

4. Преобразуем сумму косинусов в скобках по формуле $cos X + cos Y = 2 cos\frac{X+Y}{2} cos\frac{X-Y}{2}$.

$cos(120^\circ + 2\alpha) + cos(60^\circ - 2\alpha) = 2 cos(\frac{120^\circ + 2\alpha + 60^\circ - 2\alpha}{2}) cos(\frac{120^\circ + 2\alpha - (60^\circ - 2\alpha)}{2})$.

$= 2 cos(\frac{180^\circ}{2}) cos(\frac{60^\circ + 4\alpha}{2}) = 2 cos(90^\circ) cos(30^\circ + 2\alpha)$.

Так как $cos(90^\circ) = 0$, то всё выражение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot cos(30^\circ + 2\alpha) = 0$.

5. Подставим полученный результат обратно в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $sin(2\alpha) - \frac{1}{2}[0] = sin(2\alpha)$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна правой части: $sin(2\alpha) = sin(2\alpha)$.

Ответ: Тождество доказано.