Номер 29.17, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.17. Сравните числа:

а) $a = \sin 1 \cos 2$, $b = \sin 3 \cos 4$;

б) $a = \cos 2 \cos 4$, $b = -\sin 3,5 \sin 2,5$.

а) Сравним числа $a = \sin 1 \cos 2$ и $b = \sin 3 \cos 4$.

Для преобразования произведений тригонометрических функций в сумму воспользуемся формулой:
$ \sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)] $

Применим эту формулу к числу $a$:
$ a = \sin 1 \cos 2 = \frac{1}{2}[\sin(1+2) + \sin(1-2)] = \frac{1}{2}[\sin 3 + \sin(-1)] $
Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:
$ a = \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) $

Теперь применим эту же формулу к числу $b$:
$ b = \sin 3 \cos 4 = \frac{1}{2}[\sin(3+4) + \sin(3-4)] = \frac{1}{2}[\sin 7 + \sin(-1)] $
$ b = \frac{1}{2}(\sin 7 - \sin 1) $

Теперь задача сводится к сравнению выражений $ \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) $ и $ \frac{1}{2}(\sin 7 - \sin 1) $. Это равносильно сравнению $ \sin 3 $ и $ \sin 7 $.

Рассмотрим разность $ \sin 3 - \sin 7 $. Воспользуемся формулой разности синусов:
$ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $
$ \sin 3 - \sin 7 = 2 \sin\frac{3-7}{2} \cos\frac{3+7}{2} = 2 \sin(-2) \cos(5) = -2 \sin 2 \cos 5 $

Определим знаки множителей. Аргументы даны в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.
$ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $, $ \pi \approx 3,14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $, $ 2\pi \approx 6,28 $.

Для $ \sin 2 $: так как $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол 2 находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin 2 > 0 $.

Для $ \cos 5 $: так как $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $, угол 5 находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos 5 > 0 $.

Таким образом, произведение $ -2 \sin 2 \cos 5 $ является отрицательным числом, так как состоит из одного отрицательного и двух положительных множителей.
Значит, $ \sin 3 - \sin 7 < 0 $, откуда $ \sin 3 < \sin 7 $.

Возвращаемся к сравнению $ a $ и $ b $. Поскольку $ \sin 3 < \sin 7 $, то $ \sin 3 - \sin 1 < \sin 7 - \sin 1 $.
Следовательно, $ \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) < \frac{1}{2}(\sin 7 - \sin 1) $, то есть $ a < b $.

Ответ: $a < b$.

б) Сравним числа $a = \cos 2 \cos 4$ и $b = -\sin 3,5 \sin 2,5$.

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] $
$ \sin x \sin y = \frac{1}{2}[\cos(x-y) - \cos(x+y)] $

Преобразуем число $a$:
$ a = \cos 2 \cos 4 = \frac{1}{2}[\cos(2+4) + \cos(2-4)] = \frac{1}{2}[\cos 6 + \cos(-2)] $
Так как $ \cos(-x) = \cos x $, получаем:
$ a = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2) $

Преобразуем число $b$:
$ b = -\sin 3,5 \sin 2,5 = - \left( \frac{1}{2}[\cos(3,5 - 2,5) - \cos(3,5 + 2,5)] \right) $
$ b = -\frac{1}{2}(\cos 1 - \cos 6) = \frac{1}{2}(\cos 6 - \cos 1) $

Теперь задача сводится к сравнению $ a = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2) $ и $ b = \frac{1}{2}(\cos 6 - \cos 1) $.
Рассмотрим их разность:
$ a - b = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2) - \frac{1}{2}(\cos 6 - \cos 1) = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2 - \cos 6 + \cos 1) = \frac{1}{2}(\cos 2 + \cos 1) $

Знак разности $ a-b $ совпадает со знаком выражения $ \cos 2 + \cos 1 $.
Для определения знака этого выражения воспользуемся формулой суммы косинусов:
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos 2 + \cos 1 = 2 \cos\frac{2+1}{2} \cos\frac{2-1}{2} = 2 \cos(1,5) \cos(0,5) $

Определим знаки множителей, зная, что $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $.
Для $ \cos(0,5) $: так как $ 0 < 0,5 < \frac{\pi}{2} $, угол 0,5 находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos(0,5) > 0 $.
Для $ \cos(1,5) $: так как $ 0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} $, угол 1,5 также находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos(1,5) > 0 $.

Таким образом, произведение $ 2 \cos(1,5) \cos(0,5) $ является положительным числом.
Значит, $ \cos 2 + \cos 1 > 0 $, и следовательно, $ a-b > 0 $.
Отсюда следует, что $ a > b $.

Ответ: $a > b$.