Номер 29.18, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.18. Докажите неравенство:

a) $ \sin (x + 2) \cos (x - 2) < \sin (x + 3) \cos (x - 3) $;

б) $ \cos (2x - 3) \cos (2x + 3) > \sin (1 + 2x) \sin (1 - 2x) $.

a) Докажите неравенство $\sin(x + 2)\cos(x - 2) < \sin(x + 3)\cos(x - 3)$.

Для доказательства воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$\sin(x + 2)\cos(x - 2) = \frac{1}{2}(\sin((x + 2) + (x - 2)) + \sin((x + 2) - (x - 2))) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(4))$.

Преобразуем правую часть неравенства:

$\sin(x + 3)\cos(x - 3) = \frac{1}{2}(\sin((x + 3) + (x - 3)) + \sin((x + 3) - (x - 3))) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(6))$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(4)) < \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(6))$.

Умножим обе части на 2 и вычтем $\sin(2x)$:

$\sin(4) < \sin(6)$.

Теперь докажем справедливость этого числового неравенства. Углы 4 и 6 заданы в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

Оценим, в каких четвертях находятся углы 4 и 6 радиан.

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (приблизительно $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана находится в III четверти. Синус в III четверти отрицателен, следовательно, $\sin(4) < 0$.

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (приблизительно $4.71 < 6 < 6.28$), угол в 6 радиан находится в IV четверти. Синус в IV четверти также отрицателен, следовательно, $\sin(6) < 0$.

Сравним два отрицательных числа. Для этого сравним их модули. Модуль синуса угла равен синусу соответствующего ему угла в первой четверти (приведенного угла).

Для угла 4 рад приведенный угол равен $4 - \pi$. $|\sin(4)| = \sin(4 - \pi)$.

Для угла 6 рад приведенный угол равен $2\pi - 6$. $|\sin(6)| = \sin(2\pi - 6)$.

Сравним значения $4 - \pi$ и $2\pi - 6$. Сравнение $4 - \pi$ и $2\pi - 6$ эквивалентно сравнению $10$ и $3\pi$.

Так как $\pi < 3.15$, то $3\pi < 9.45 < 10$. Следовательно, $10 > 3\pi$, что означает $4 - \pi > 2\pi - 6$.

Оба угла, $4 - \pi$ и $2\pi - 6$, находятся в первой четверти (от 0 до $\pi/2$). На этом промежутке функция $y = \sin t$ возрастает. Поэтому из $4 - \pi > 2\pi - 6$ следует, что $\sin(4 - \pi) > \sin(2\pi - 6)$.

Это означает, что $|\sin(4)| > |\sin(6)|$.

Так как $\sin(4)$ и $\sin(6)$ оба отрицательны, то из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Следовательно, $\sin(4) < \sin(6)$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажите неравенство $\cos(2x - 3)\cos(2x + 3) > \sin(1 + 2x)\sin(1 - 2x)$.

Для доказательства воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

Преобразуем левую часть неравенства, приняв $\alpha = 2x + 3$, $\beta = 2x - 3$:

$\cos(2x + 3)\cos(2x - 3) = \frac{1}{2}(\cos((2x + 3) - (2x - 3)) + \cos((2x + 3) + (2x - 3))) = \frac{1}{2}(\cos(6) + \cos(4x))$.

Преобразуем правую часть неравенства, приняв $\alpha = 1 + 2x$, $\beta = 1 - 2x$:

$\sin(1 + 2x)\sin(1 - 2x) = \frac{1}{2}(\cos((1 + 2x) - (1 - 2x)) - \cos((1 + 2x) + (1 - 2x))) = \frac{1}{2}(\cos(4x) - \cos(2))$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2}(\cos(6) + \cos(4x)) > \frac{1}{2}(\cos(4x) - \cos(2))$.

Умножим обе части на 2 и вычтем $\cos(4x)$:

$\cos(6) > -\cos(2)$.

Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, заменим $-\cos(2)$ на $\cos(\pi-2)$. Неравенство примет вид:

$\cos(6) > \cos(\pi - 2)$.

Докажем справедливость этого числового неравенства. Углы заданы в радианах ($\pi \approx 3.14159$).

Оценим, в каких четвертях находятся углы 6 и $\pi - 2$.

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (приблизительно $4.71 < 6 < 6.28$), угол в 6 радиан находится в IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, так что $\cos(6) > 0$.

Угол $\pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14$ радиан. Поскольку $0 < 1.14 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, этот угол находится в I четверти. Косинус в I четверти положителен, так что $\cos(\pi - 2) > 0$.

Чтобы сравнить два положительных значения косинуса, приведем их аргументы к одному промежутку монотонности функции $y = \cos t$, например, к $[0, \pi/2]$.

Для угла 6 рад, находящегося в IV четверти, $\cos(6) = \cos(2\pi - 6)$.

Для угла $\pi - 2$, находящегося в I четверти, $\cos(\pi - 2)$ уже имеет аргумент из нужного промежутка.

Неравенство $\cos(6) > \cos(\pi - 2)$ равносильно неравенству $\cos(2\pi - 6) > \cos(\pi - 2)$.

Сравним аргументы: $2\pi - 6$ и $\pi - 2$.

Сравнение $2\pi - 6$ и $\pi - 2$ эквивалентно сравнению $\pi$ и $4$.

Так как $\pi < 4$, то $2\pi - 6 < \pi - 2$.

Оба аргумента, $2\pi - 6 \approx 0.28$ и $\pi - 2 \approx 1.14$, принадлежат интервалу $(0, \pi/2)$. На этом интервале функция $y = \cos t$ является убывающей. Это означает, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $2\pi - 6 < \pi - 2$, то $\cos(2\pi - 6) > \cos(\pi - 2)$.

Таким образом, неравенство $\cos(6) > \cos(\pi - 2)$ верно, а значит, верно и исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.