Номер 29.20, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.20. Во сколько раз:

а) число $(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 80^\circ$;

б) число $(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 70^\circ$;

в) число $(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 85^\circ$;

г) число $(\tan 57^\circ + \tan 3^\circ)^2$ больше числа $(\cos 54^\circ + 0.5)^{-2}$?

а) Чтобы определить, во сколько раз число $(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 80^\circ$, найдем их отношение.
Преобразуем числитель, используя формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2 = \left(2 \sin\frac{70^\circ+50^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ-50^\circ}{2}\right)^2 = (2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ)^2$.
Поскольку $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, выражение становится: $\left(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10^\circ\right)^2 = (\sqrt{3} \cos 10^\circ)^2 = 3 \cos^2 10^\circ$.
Теперь преобразуем знаменатель $\sin^2 80^\circ$. Используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$, получаем:
$\sin^2 80^\circ = (\cos(90^\circ - 80^\circ))^2 = \cos^2 10^\circ$.
Искомое отношение равно:
$\frac{(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ} = \frac{3 \cos^2 10^\circ}{\cos^2 10^\circ} = 3$.

Ответ: в 3 раза.

б) Найдем отношение числа $(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ к числу $\sin^2 70^\circ$.
Раскроем скобки в числителе:
$(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2 = \cos^2 65^\circ + 2 \sin 65^\circ \cos 65^\circ + \sin^2 65^\circ$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем:
$1 + \sin(2 \cdot 65^\circ) = 1 + \sin 130^\circ$.
Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, имеем $\sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ$.
Используем еще одну формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$: $\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$.
Числитель становится $1 + \cos 40^\circ$. Применим формулу $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$:
$1 + \cos 40^\circ = 2 \cos^2\left(\frac{40^\circ}{2}\right) = 2 \cos^2 20^\circ$.
Теперь преобразуем знаменатель: $\sin^2 70^\circ = (\cos(90^\circ - 70^\circ))^2 = \cos^2 20^\circ$.
Искомое отношение:
$\frac{(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2}{\sin^2 70^\circ} = \frac{2 \cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

в) Найдем отношение числа $(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ к числу $\sin^2 85^\circ$.
Преобразуем числитель, используя формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2 = \left(2 \cos\frac{50^\circ+40^\circ}{2} \cos\frac{50^\circ-40^\circ}{2}\right)^2 = (2 \cos 45^\circ \cos 5^\circ)^2$.
Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 5^\circ\right)^2 = (\sqrt{2} \cos 5^\circ)^2 = 2 \cos^2 5^\circ$.
Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:
$\sin^2 85^\circ = (\cos(90^\circ - 85^\circ))^2 = \cos^2 5^\circ$.
Искомое отношение равно:
$\frac{(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2}{\sin^2 85^\circ} = \frac{2 \cos^2 5^\circ}{\cos^2 5^\circ} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

г) Найдем, во сколько раз число $(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)^2$ больше числа $(\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}$. Для этого найдем их отношение:
$\frac{(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}} = (\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)^2 \cdot (\cos 54^\circ + 0,5)^2 = [(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)(\cos 54^\circ + 0,5)]^2$.
Преобразуем каждый множитель в скобках по отдельности.
Для первого множителя используем формулу суммы тангенсов $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$:
$\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ = \frac{\sin(57^\circ+3^\circ)}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ}$.
Для второго множителя заметим, что $0,5 = \cos 60^\circ$. Используем формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 54^\circ + 0,5 = \cos 54^\circ + \cos 60^\circ = 2 \cos\frac{54^\circ+60^\circ}{2} \cos\frac{60^\circ-54^\circ}{2} = 2 \cos 57^\circ \cos 3^\circ$.
Теперь перемножим преобразованные выражения:
$(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)(\cos 54^\circ + 0,5) = \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ}\right) \cdot (2 \cos 57^\circ \cos 3^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$.
Искомое отношение является квадратом этого результата:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: в 3 раза.