Номер 29.25, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.25. Найдите все значения $x$, при которых числа $a, b, c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, если:

а) $a = \cos 6x, b = \cos 4x, c = \cos 2x;$

б) $a = \sin 2x, b = \sin 3x, c = \sin 4x.$

а) Для того чтобы числа a, b, и c в указанном порядке являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: $b^2 = ac$.

Подставим данные значения: $a = \cos 6x$, $b = \cos 4x$, $c = \cos 2x$.

Получаем уравнение:

$\cos^2 4x = \cos 6x \cdot \cos 2x$

Для преобразования правой части уравнения воспользуемся формулой произведения косинусов $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$:

$\cos 6x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(6x - 2x) + \cos(6x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 8x)$

Уравнение принимает вид:

$\cos^2 4x = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 8x)$

Теперь для левой части применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$:

$\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + \cos 8x}{2}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$\frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{\cos 4x + \cos 8x}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2 и приведем подобные члены:

$1 + \cos 8x = \cos 4x + \cos 8x$

$1 = \cos 4x$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$4x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство геометрической прогрессии $b^2 = ac$.

Подставим заданные выражения: $a = \sin 2x$, $b = \sin 3x$, $c = \sin 4x$.

Получаем следующее уравнение:

$\sin^2 3x = \sin 2x \cdot \sin 4x$

Для преобразования правой части воспользуемся формулой произведения синусов $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$:

$\sin 2x \sin 4x = \frac{1}{2}(\cos(2x - 4x) - \cos(2x + 4x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos 6x) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 6x)$

Теперь уравнение выглядит так:

$\sin^2 3x = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 6x)$

Для левой части применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$:

$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - \cos 6x}{2}$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$\frac{1 - \cos 6x}{2} = \frac{\cos 2x - \cos 6x}{2}$

Умножим обе части на 2 и упростим:

$1 - \cos 6x = \cos 2x - \cos 6x$

$1 = \cos 2x$

Решаем полученное уравнение:

$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

При этих значениях $x$ все три члена прогрессии равны нулю: $a = \sin(2\pi k) = 0$, $b = \sin(3\pi k) = 0$, $c = \sin(4\pi k) = 0$. Последовательность $0, 0, 0$ является геометрической прогрессией, так как условие $b^2 = ac$ выполняется ($0^2 = 0 \cdot 0$).

Ответ: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.