Номер 29.23, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.23. a) $ \sin 3x \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2}; $

б) $ 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) + \sin^2 x = 0; $

в) $ \sin 2x \cos x = \sin x \cos 2x; $

г) $ \cos 2x \cos x = \cos 2.5x \cos 0.5x. $

а)

Исходное уравнение: $ \sin 3x \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} $.

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$ \sin 3x \cos x = \frac{1}{2}(\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) $.

Применим эту же формулу к правой части уравнения:

$ \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2}\right) + \sin\left(\frac{5x}{2} - \frac{3x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin \frac{8x}{2} + \sin \frac{2x}{2}\right) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin x) $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin x) $

Умножим обе части на 2 и упростим:

$ \sin 4x + \sin 2x = \sin 4x + \sin x $

$ \sin 2x = \sin x $

$ \sin 2x - \sin x = 0 $

Используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $.

$ 2 \sin \frac{2x-x}{2} \cos \frac{2x+x}{2} = 0 $

$ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $ \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos \frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \sin^2 x = 0 $.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим ее к первому слагаемому:

$ 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) \right) $

$ = \cos(2x) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos(2x) - 0 = \cos(2x) $.

Подставляем полученное выражение обратно в уравнение:

$ \cos(2x) + \sin^2 x = 0 $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $.

$ (\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin^2 x = 0 $

$ \cos^2 x = 0 $

$ \cos x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в)

Исходное уравнение: $ \sin 2x \cos x = \sin x \cos 2x $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x = 0 $

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $:

$ \sin(2x - x) = 0 $

$ \sin x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г)

Исходное уравнение: $ \cos 2x \cos x = \cos 2,5x \cos 0,5x $.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$ \cos 2x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(2x+x) + \cos(2x-x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x) $.

Применим эту же формулу к правой части уравнения:

$ \cos 2,5x \cos 0,5x = \frac{1}{2}(\cos(2,5x + 0,5x) + \cos(2,5x - 0,5x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 2x) $.

Приравниваем преобразованные части:

$ \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 2x) $

$ \cos 3x + \cos x = \cos 3x + \cos 2x $

$ \cos x = \cos 2x $

Перенесем все в одну сторону:

$ \cos 2x - \cos x = 0 $

Используем формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ -2 \sin \frac{2x+x}{2} \sin \frac{2x-x}{2} = 0 $

$ -2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

1) $ \sin \frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{3x}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений ($ x = 2\pi n $) является частным случаем первой серии ($ x = \frac{2\pi k}{3} $) при $k$, кратном 3 (т.е. $k=3n$). Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.