Номер 29.16, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.16. a) $ \cos 10^\circ \cos 30^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ; $

б) $ \sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ. $

а) Вычислим значение выражения $ \cos 10° \cos 30° \cos 50° \cos 70° $.

Значение $ \cos 30° $ является известной величиной: $ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Перепишем выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10° \cos 50° \cos 70° $.

Теперь сгруппируем $ \cos 10° $ и $ \cos 50° $ и применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $. $ \cos 50° \cos 10° = \frac{1}{2}(\cos(50° + 10°) + \cos(50° - 10°)) = \frac{1}{2}(\cos 60° + \cos 40°) $.

Так как $ \cos 60° = \frac{1}{2} $, получаем: $ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos 40°) $.

Подставим это обратно в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos 40°)\right) \cdot \cos 70° = \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{2} + \cos 40°) \cos 70° $.

Раскроем скобки: $ \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{2}\cos 70° + \cos 40° \cos 70°) $.

Снова применим формулу произведения косинусов для $ \cos 40° \cos 70° $: $ \cos 70° \cos 40° = \frac{1}{2}(\cos(70° + 40°) + \cos(70° - 40°)) = \frac{1}{2}(\cos 110° + \cos 30°) $.

Подставим это в наше выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\cos 70° + \frac{1}{2}(\cos 110° + \cos 30°)\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}(\cos 70° + \cos 110° + \cos 30°) $.

Используем формулу приведения $ \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha $. $ \cos 110° = \cos(180° - 70°) = -\cos 70° $.

Выражение упрощается: $ \frac{\sqrt{3}}{8}(\cos 70° - \cos 70° + \cos 30°) = \frac{\sqrt{3}}{8} \cos 30° $.

Подставляем значение $ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $: $ \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16} $.

Ответ: $ \frac{3}{16} $

б) Вычислим значение выражения $ \sin 10° \sin 30° \sin 50° \sin 70° $.

Значение $ \sin 30° $ известно: $ \sin 30° = \frac{1}{2} $. Выражение принимает вид: $ \frac{1}{2} \sin 10° \sin 50° \sin 70° $.

Воспользуемся формулами приведения $ \sin \alpha = \cos(90° - \alpha) $ для преобразования синусов в косинусы:
$ \sin 10° = \cos(90° - 10°) = \cos 80° $
$ \sin 50° = \cos(90° - 50°) = \cos 40° $
$ \sin 70° = \cos(90° - 70°) = \cos 20° $

Подставим преобразованные значения в выражение: $ \frac{1}{2} \cos 80° \cos 40° \cos 20° $. Переставим множители для удобства: $ \frac{1}{2} \cos 20° \cos 40° \cos 80° $.

Вычислим произведение $ P = \cos 20° \cos 40° \cos 80° $. Для этого умножим и разделим его на $ 2 \sin 20° $: $ P = \frac{2 \sin 20° \cos 20° \cos 40° \cos 80°}{2 \sin 20°} $.

Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем: $ P = \frac{\sin 40° \cos 40° \cos 80°}{2 \sin 20°} $.

Повторим операцию, умножив числитель и знаменатель на 2: $ P = \frac{2 \sin 40° \cos 40° \cos 80°}{4 \sin 20°} = \frac{\sin 80° \cos 80°}{4 \sin 20°} $.

И еще раз: $ P = \frac{2 \sin 80° \cos 80°}{8 \sin 20°} = \frac{\sin 160°}{8 \sin 20°} $.

Используем формулу приведения $ \sin(180° - \alpha) = \sin \alpha $: $ \sin 160° = \sin(180° - 20°) = \sin 20° $.

Тогда произведение $ P $ равно: $ P = \frac{\sin 20°}{8 \sin 20°} = \frac{1}{8} $.

Теперь вернемся к исходному выражению: $ \frac{1}{2} \cdot P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16} $.

Ответ: $ \frac{1}{16} $