Номер 29.15, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.15. a) $\sin 12^\circ \cos 72^\circ - \cos 33^\circ \cos 27^\circ$;

б) $2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ - 2 \sin 31^\circ \sin 14^\circ - 2 \sin 14^\circ \sin 3^\circ$.

$\sin 12^\circ \cos 72^\circ - \cos 33^\circ \cos 27^\circ$

Для решения этой задачи мы воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и формулами преобразования произведения в сумму.

1. Сначала преобразуем $\cos 72^\circ$ с помощью формулы приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sin 12^\circ \sin 18^\circ - \cos 33^\circ \cos 27^\circ$.

2. Применим формулы преобразования произведения в сумму:

$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $

Для первого слагаемого ($\alpha = 18^\circ, \beta = 12^\circ$):

$\sin 12^\circ \sin 18^\circ = \frac{1}{2}(\cos(18^\circ - 12^\circ) - \cos(18^\circ + 12^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 6^\circ - \cos 30^\circ)$.

Для второго слагаемого ($\alpha = 33^\circ, \beta = 27^\circ$):

$\cos 33^\circ \cos 27^\circ = \frac{1}{2}(\cos(33^\circ - 27^\circ) + \cos(33^\circ + 27^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 6^\circ + \cos 60^\circ)$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\frac{1}{2}(\cos 6^\circ - \cos 30^\circ) - \frac{1}{2}(\cos 6^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos 6^\circ - \frac{1}{2}\cos 30^\circ - \frac{1}{2}\cos 6^\circ - \frac{1}{2}\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}(\cos 30^\circ + \cos 60^\circ)$.

4. Используем табличные значения $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = -\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

$2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ - 2 \sin 31^\circ \sin 14^\circ - 2 \sin 14^\circ \sin 3^\circ$

1. Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $-2 \sin 14^\circ$:

$2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ - 2 \sin 14^\circ (\sin 31^\circ + \sin 3^\circ)$.

2. Преобразуем отдельно каждую часть выражения, используя формулы преобразования.

Для первого слагаемого используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$.

$2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ = \cos(28^\circ + 17^\circ) + \cos(28^\circ - 17^\circ) = \cos 45^\circ + \cos 11^\circ$.

3. Для выражения в скобках применим формулу преобразования суммы синусов в произведение: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\sin 31^\circ + \sin 3^\circ = 2 \sin\frac{31^\circ+3^\circ}{2}\cos\frac{31^\circ-3^\circ}{2} = 2 \sin 17^\circ \cos 14^\circ$.

4. Подставим результат обратно во вторую часть исходного выражения:

$- 2 \sin 14^\circ (2 \sin 17^\circ \cos 14^\circ) = -4 \sin 14^\circ \cos 14^\circ \sin 17^\circ$.

5. Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$:

$-4 \sin 14^\circ \cos 14^\circ \sin 17^\circ = -2 \cdot (2 \sin 14^\circ \cos 14^\circ) \sin 17^\circ = -2 \sin(2 \cdot 14^\circ) \sin 17^\circ = -2 \sin 28^\circ \sin 17^\circ$.

6. Теперь применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

$-2 \sin 28^\circ \sin 17^\circ = -(\cos(28^\circ - 17^\circ) - \cos(28^\circ + 17^\circ)) = -(\cos 11^\circ - \cos 45^\circ) = \cos 45^\circ - \cos 11^\circ$.

7. Соберем все части вместе:

$(\cos 45^\circ + \cos 11^\circ) + (\cos 45^\circ - \cos 11^\circ) = \cos 45^\circ + \cos 11^\circ + \cos 45^\circ - \cos 11^\circ = 2 \cos 45^\circ$.

8. Подставим табличное значение $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.