Номер 29.22, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.22. a) $2 \sin x \cos 3x + \sin 4x = 0;$

б) $\sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}.$

а) $2 \sin x \cos 3x + \sin 4x = 0$

Используем формулу произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.

$2 \sin x \cos 3x = \sin(x + 3x) + \sin(x - 3x) = \sin 4x + \sin(-2x) = \sin 4x - \sin 2x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\sin 4x - \sin 2x) + \sin 4x = 0$

$2 \sin 4x - \sin 2x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$:

$2(2 \sin 2x \cos 2x) - \sin 2x = 0$

$4 \sin 2x \cos 2x - \sin 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (4 \cos 2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $4 \cos 2x - 1 = 0$

$\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$

Используем формулу произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае $\alpha = \frac{3x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.

$\sin\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) = \frac{1}{2}$

$\cos x - \cos 2x = 1$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$\cos x - (2\cos^2 x - 1) = 1$

$\cos x - 2\cos^2 x + 1 = 1$

$\cos x - 2\cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 2\cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $1 - 2\cos x = 0$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.