Номер 29.24, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.24. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения:

а) $\sin x \sin 3x = 0.5$;

б) $\cos x \cos 3x = -0.5$.

а) $ \sin x \sin 3x = 0,5 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ \frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = 0,5 $

$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) = 0,5 $

Умножим обе части на 2:

$ \cos(2x) - \cos(4x) = 1 $

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $. Применим её для $ \cos(4x) $:

$ \cos(4x) = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2(2x) - 1 $

Подставим это выражение в уравнение:

$ \cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) = 1 $

$ \cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 = 1 $

$ \cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $

Вынесем $ \cos(2x) $ за скобки:

$ \cos(2x)(1 - 2\cos(2x)) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ \cos(2x) = 0 $

Решением является $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, откуда получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ 1 - 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = \frac{1}{2} $

Решением является $ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $, откуда получаем вторую серию корней:

$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни. Для этого рассмотрим значения корней при различных целых $n$ и $k$.

Из серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ получаем корни: ..., $ -\frac{3\pi}{4} $, $ -\frac{\pi}{4} $ (при $n=-1$), $ \frac{\pi}{4} $ (при $n=0$), $ \frac{3\pi}{4} $, ...

Из серии $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{5\pi}{6} $ (при $k=-1$), $ \frac{\pi}{6} $ (при $k=0$), $ \frac{7\pi}{6} $, ...

Из серии $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{7\pi}{6} $, $ -\frac{\pi}{6} $ (при $k=0$), $ \frac{5\pi}{6} $ (при $k=1$), ...

Выпишем все найденные положительные корни в порядке возрастания: $ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, ... $. Наименьший из них - $ \frac{\pi}{6} $.

Выпишем все найденные отрицательные корни: $ -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}, ... $. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $ -\frac{\pi}{6} $.

Ответ: наименьший положительный корень $ \frac{\pi}{6} $, наибольший отрицательный корень $ -\frac{\pi}{6} $.

б) $ \cos x \cos 3x = -0,5 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ \frac{1}{2}(\cos(3x - x) + \cos(3x + x)) = -0,5 $

$ \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(4x)) = -0,5 $

Умножим обе части на 2:

$ \cos(2x) + \cos(4x) = -1 $

Снова используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $:

$ \cos(2x) + (2\cos^2(2x) - 1) = -1 $

$ 2\cos^2(2x) + \cos(2x) = 0 $

Вынесем $ \cos(2x) $ за скобки:

$ \cos(2x)(2\cos(2x) + 1) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ \cos(2x) = 0 $

Решением является $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, откуда получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ 2\cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2} $

Решением является $ 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $, откуда получаем вторую серию корней:

$ x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни.

Из серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ получаем корни: ..., $ -\frac{3\pi}{4} $, $ -\frac{\pi}{4} $ (при $n=-1$), $ \frac{\pi}{4} $ (при $n=0$), $ \frac{3\pi}{4} $, ...

Из серии $ x = \frac{\pi}{3} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{2\pi}{3} $ (при $k=-1$), $ \frac{\pi}{3} $ (при $k=0$), $ \frac{4\pi}{3} $, ...

Из серии $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{4\pi}{3} $, $ -\frac{\pi}{3} $ (при $k=0$), $ \frac{2\pi}{3} $ (при $k=1$), ...

Выпишем все найденные положительные корни в порядке возрастания: $ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, ... $. Наименьший из них - $ \frac{\pi}{4} $.

Выпишем все найденные отрицательные корни: $ -\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, ... $. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $ -\frac{\pi}{4} $.

Ответ: наименьший положительный корень $ \frac{\pi}{4} $, наибольший отрицательный корень $ -\frac{\pi}{4} $.