Номер 29.31, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.31. a) $\cos \frac{x(y - 1)}{2} \cos \frac{x(y + 1)}{2} = \cos^2 \frac{x}{2}$;

б) $\sin \frac{y(x + 1)}{2} \cos \frac{y(x - 1)}{2} = \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}\right).$

а)

Исходное уравнение: $ \cos\frac{x(y - 1)}{2} \cos\frac{x(y + 1)}{2} = \cos^2\frac{x}{2} $.

Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы произведения косинусов $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B)) $.

Пусть $ A = \frac{x(y+1)}{2} $ и $ B = \frac{x(y-1)}{2} $. Найдем их сумму и разность:

$ A+B = \frac{x(y+1) + x(y-1)}{2} = \frac{xy+x+xy-x}{2} = \frac{2xy}{2} = xy $.

$ A-B = \frac{x(y+1) - x(y-1)}{2} = \frac{xy+x-xy+x}{2} = \frac{2x}{2} = x $.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: $ \frac{1}{2}(\cos(xy) + \cos(x)) $.

Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$ \frac{1}{2}(\cos(xy) + \cos(x)) = \frac{1+\cos x}{2} $.

Умножим обе части на 2:

$ \cos(xy) + \cos(x) = 1 + \cos x $.

Вычтем $ \cos x $ из обеих частей:

$ \cos(xy) = 1 $.

Это уравнение верно, когда аргумент косинуса равен $ 2\pi n $ для любого целого $ n $.

$ xy = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ xy = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sin\frac{y(x + 1)}{2} \cos\frac{y(x - 1)}{2} = \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}) $.

Преобразуем левую часть с помощью формулы произведения синуса на косинус $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $.

Пусть $ A = \frac{y(x+1)}{2} $ и $ B = \frac{y(x-1)}{2} $. Найдем их сумму и разность:

$ A+B = \frac{y(x+1) + y(x-1)}{2} = \frac{xy+y+xy-y}{2} = \frac{2xy}{2} = xy $.

$ A-B = \frac{y(x+1) - y(x-1)}{2} = \frac{xy+y-xy+y}{2} = \frac{2y}{2} = y $.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: $ \frac{1}{2}(\sin(xy) + \sin(y)) $.

Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}) = \frac{1+\cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{y}{2}))}{2} = \frac{1+\cos(\frac{\pi}{2} - y)}{2} $.

Применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y $:

$ \frac{1+\cos(\frac{\pi}{2} - y)}{2} = \frac{1+\sin y}{2} $.

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$ \frac{1}{2}(\sin(xy) + \sin(y)) = \frac{1+\sin y}{2} $.

Умножим обе части на 2:

$ \sin(xy) + \sin(y) = 1 + \sin y $.

Вычтем $ \sin y $ из обеих частей:

$ \sin(xy) = 1 $.

Это уравнение верно, когда аргумент синуса равен $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n $ для любого целого $ n $.

$ xy = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ xy = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.