Номер 30.3, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.3. Докажите тождество:

a) $\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right);$

б) $\cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right).$

a) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Рассмотрим выражение $ \sin x + \cos x $. Применим метод вспомогательного угла, вынеся за скобки $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $:

$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) $

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты и применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \left( \cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$ \sin x + \cos x + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2} $

Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобку:

$ \sqrt{2} \left( 1 + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \right) $

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha $. В нашем случае $ 2\alpha = x - \frac{\pi}{4} $, откуда $ \alpha = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} $.

Получаем:

$ \sqrt{2} \cdot 2\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $

Левая часть тождества преобразована к правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Рассмотрим выражение $ \cos 2x - \sin 2x $. Применим метод вспомогательного угла, вынеся за скобки $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \cos 2x - \sin 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right) $

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты и применим формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \left( \cos 2x \cos\frac{\pi}{4} - \sin 2x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$ \cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} $

Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобку:

$ \sqrt{2} \left( \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 1 \right) $

Используем формулу, следующую из косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) - 1 = -2\sin^2\alpha $. В нашем случае $ 2\alpha = 2x + \frac{\pi}{4} $, откуда $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $.

Получаем:

$ \sqrt{2} \cdot \left( -2\sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \right) = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) $

Левая часть тождества преобразована к правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.