Номер 30.5, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.5. Вычислите:

а) $\frac{\sin 38^\circ - \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ}$;

б) $\frac{\sin 377^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}$;

в) $\frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 347^\circ}$;

г) $\frac{\sin 752^\circ + \cos 328^\circ}{\sqrt{2} \sin 437^\circ}$.

а) $ \frac{\sin 38^\circ - \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} $

Преобразуем числитель, используя метод вспомогательного угла. Для выражения вида $a \sin x - b \cos x$ вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$. В данном случае $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$ \sin 38^\circ - \cos 38^\circ = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 38^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 38^\circ \right) $

Заметим, что $ \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Подставим эти значения:

$ \sqrt{2} (\sin 38^\circ \cos 45^\circ - \cos 38^\circ \sin 45^\circ) $

Используем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \sin(38^\circ - 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(-7^\circ) $

Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:

$ -\sqrt{2} \sin 7^\circ $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{-\sqrt{2} \sin 7^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} = -1 $

Ответ: $-1$

б) $ \frac{\sin 377^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 407^\circ} $

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность ($360^\circ$):

$ \sin 377^\circ = \sin(360^\circ + 17^\circ) = \sin 17^\circ $

$ \cos 407^\circ = \cos(360^\circ + 47^\circ) = \cos 47^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{\sin 17^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 47^\circ} $

Преобразуем числитель $ \sin 17^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ $ методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $ за скобки:

$ 2 \left( \frac{1}{2} \sin 17^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 17^\circ \right) $

Зная, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ 2 (\sin 17^\circ \cos 60^\circ - \cos 17^\circ \sin 60^\circ) $

Применяем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) $:

$ 2 \sin(17^\circ - 60^\circ) = 2 \sin(-43^\circ) = -2 \sin 43^\circ $

Подставим это в дробь:

$ \frac{-2 \sin 43^\circ}{\cos 47^\circ} $

Используя формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $, преобразуем числитель:

$ \sin 43^\circ = \cos(90^\circ - 43^\circ) = \cos 47^\circ $

Тогда выражение равно:

$ \frac{-2 \cos 47^\circ}{\cos 47^\circ} = -2 $

Ответ: $-2$

в) $ \frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 347^\circ} $

Упростим знаменатель, используя свойства косинуса:

$ \cos 347^\circ = \cos(360^\circ - 13^\circ) = \cos(-13^\circ) = \cos 13^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 13^\circ} $

Преобразуем числитель $ \sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ $ методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $ за скобки:

$ 2 \left( \frac{1}{2} \sin 17^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 17^\circ \right) $

Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ 2 (\sin 17^\circ \sin 30^\circ + \cos 17^\circ \cos 30^\circ) $

Применяем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:

$ 2 \cos(30^\circ - 17^\circ) = 2 \cos 13^\circ $

Теперь подставим полученное выражение в дробь:

$ \frac{2 \cos 13^\circ}{2 \cos 13^\circ} = 1 $

Ответ: $1$

г) $ \frac{\sin 752^\circ + \cos 328^\circ}{\sqrt{2} \sin 437^\circ} $

Упростим аргументы тригонометрических функций, используя их периодичность и свойства:

$ \sin 752^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 32^\circ) = \sin 32^\circ $

$ \cos 328^\circ = \cos(360^\circ - 32^\circ) = \cos(-32^\circ) = \cos 32^\circ $

$ \sin 437^\circ = \sin(360^\circ + 77^\circ) = \sin 77^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{\sin 32^\circ + \cos 32^\circ}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} $

Преобразуем числитель $ \sin 32^\circ + \cos 32^\circ $ методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $ за скобки:

$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 32^\circ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 32^\circ \right) $

Заметим, что $ \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Подставим эти значения:

$ \sqrt{2} (\sin 32^\circ \cos 45^\circ + \cos 32^\circ \sin 45^\circ) $

Используем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \sin(32^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin 77^\circ $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{2} \sin 77^\circ}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} = 1 $

Ответ: $1$