Номер 30.8, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.8. Существуют ли значения x, при которых выполняется равенство:

а) $sin 5x + cos 5x = 1.5;$

б) $3 \sin 2x - 4 \cos 2x = \sqrt{26};$

в) $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2};$

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}?$

Для решения уравнений вида $a \sin(kx) + b \cos(kx) = c$ используется метод оценки области значений левой части. Выражение $a \sin(y) + b \cos(y)$ можно преобразовать к виду $R \sin(y + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то область значений выражения $a \sin(y) + b \cos(y)$ — это отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Равенство может выполняться только в том случае, если значение $c$ (правая часть уравнения) принадлежит этому отрезку. То есть должно выполняться условие $|c| \le \sqrt{a^2+b^2}$ или, что эквивалентно, $c^2 \le a^2+b^2$. Проверим это условие для каждого из равенств.

Рассмотрим равенство $\sin 5x + \cos 5x = 1,5$.Здесь коэффициенты $a=1$, $b=1$, а правая часть $c=1,5$.Найдем область значений выражения в левой части: $[-\sqrt{1^2+1^2}, \sqrt{1^2+1^2}] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.Теперь проверим, принадлежит ли значение $c=1,5$ этому отрезку. Для этого сравним $1,5$ и $\sqrt{2}$.Возведем оба числа в квадрат:$(1,5)^2 = 2,25$$(\sqrt{2})^2 = 2$Так как $2,25 > 2$, то $1,5 > \sqrt{2}$.Значение $1,5$ больше максимального значения левой части, равного $\sqrt{2}$, и, следовательно, не входит в область её значений.Таким образом, не существует таких значений $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: не существуют.

Рассмотрим равенство $3 \sin 2x - 4 \cos 2x = \sqrt{26}$.Здесь $a=3$, $b=-4$, $c=\sqrt{26}$.Область значений левой части: $[-\sqrt{3^2+(-4)^2}, \sqrt{3^2+(-4)^2}] = [-\sqrt{9+16}, \sqrt{9+16}] = [-\sqrt{25}, \sqrt{25}] = [-5, 5]$.Проверим, принадлежит ли значение $c=\sqrt{26}$ этому отрезку. Сравним $\sqrt{26}$ и $5$.Возведем оба числа в квадрат:$(\sqrt{26})^2 = 26$$5^2 = 25$Так как $26 > 25$, то $\sqrt{26} > 5$.Значение $\sqrt{26}$ больше максимального значения левой части, равного $5$.Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: не существуют.

Рассмотрим равенство $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$.Здесь $a=1$, $b=-\sqrt{3}$, $c=\frac{\pi}{2}$.Область значений левой части: $[-\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}, \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}] = [-\sqrt{1+3}, \sqrt{1+3}] = [-\sqrt{4}, \sqrt{4}] = [-2, 2]$.Проверим, принадлежит ли значение $c=\frac{\pi}{2}$ этому отрезку.Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$.Так как $-2 \le 1,5708 \le 2$, то значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений левой части.Следовательно, существуют значения $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: существуют.

Рассмотрим равенство $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$.Здесь $a=5$, $b=12$, $c=\sqrt{170}$.Область значений левой части: $[-\sqrt{5^2+12^2}, \sqrt{5^2+12^2}] = [-\sqrt{25+144}, \sqrt{25+144}] = [-\sqrt{169}, \sqrt{169}] = [-13, 13]$.Проверим, принадлежит ли значение $c=\sqrt{170}$ этому отрезку. Сравним $\sqrt{170}$ и $13$.Возведем оба числа в квадрат:$(\sqrt{170})^2 = 170$$13^2 = 169$Так как $170 > 169$, то $\sqrt{170} > 13$.Значение $\sqrt{170}$ больше максимального значения левой части, равного $13$.Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: не существуют.