Номер 30.2, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.2. а) $3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $5 \cos x - 12 \sin x$;

в) $7 \sin x - 24 \cos x$;

г) $8 \cos x + 15 \sin x$.

а) Для преобразования выражения вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод вспомогательного угла. Суть метода заключается в приведении выражения к виду $R \sin(x \pm \alpha)$ или $R \cos(x \pm \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В данном случае имеем выражение $3 \sin x + 4 \cos x$, где $a = 3$ и $b = 4$.

1. Найдем коэффициент $R$ (амплитуду):

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Вынесем $R$ за скобки в исходном выражении:

$3 \sin x + 4 \cos x = 5 \left( \frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что его косинус и синус равны коэффициентам при $\sin x$ и $\cos x$ в скобках. Пусть $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Такое $\alpha$ существует, так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$5 (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)$.

5. Используем формулу синуса суммы $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:

$5 \sin(x + \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить через аркфункцию, например, $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

Ответ: $5 \sin\left(x + \arccos\frac{3}{5}\right)$.

б) Преобразуем выражение $5 \cos x - 12 \sin x$.

Здесь коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $a = -12$ и $b = 5$.

1. Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

2. Вынесем $R$ за скобки:

$5 \cos x - 12 \sin x = 13 \left( \frac{5}{13} \cos x - \frac{12}{13} \sin x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$. Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$. Пусть $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{12}{13}$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$13 (\cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha)$.

5. Применим формулу косинуса суммы:

$13 \cos(x + \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right)$.

Ответ: $13 \cos\left(x + \arccos\frac{5}{13}\right)$.

в) Преобразуем выражение $7 \sin x - 24 \cos x$.

Здесь $a = 7$ и $b = -24$.

1. Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

2. Вынесем $R$ за скобки:

$7 \sin x - 24 \cos x = 25 \left( \frac{7}{25} \sin x - \frac{24}{25} \cos x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$. Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. Пусть $\cos \alpha = \frac{7}{25}$ и $\sin \alpha = \frac{24}{25}$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$25 (\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha)$.

5. Применим формулу синуса разности:

$25 \sin(x - \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos\left(\frac{7}{25}\right)$.

Ответ: $25 \sin\left(x - \arccos\frac{7}{25}\right)$.

г) Преобразуем выражение $8 \cos x + 15 \sin x$.

Перепишем для удобства: $15 \sin x + 8 \cos x$. Здесь $a=15$ и $b=8$.

1. Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

2. Вынесем $R$ за скобки из исходного выражения:

$8 \cos x + 15 \sin x = 17 \left( \frac{8}{17} \cos x + \frac{15}{17} \sin x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$. Выражение в скобках соответствует формуле косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. Пусть $\cos \alpha = \frac{8}{17}$ и $\sin \alpha = \frac{15}{17}$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$17 (\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$.

5. Применим формулу косинуса разности:

$17 \cos(x - \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos\left(\frac{8}{17}\right)$.

Ответ: $17 \cos\left(x - \arccos\frac{8}{17}\right)$.