Номер 30.1, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Преобразуйте данное выражение к виду $C \sin (x + t)$ или

$C \cos (x + t):$

30.1. а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $\sin x + \sqrt{3} \cos x;$

в) $\sin x - \cos x;$

г) $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x.$

Для преобразования выражений вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Общая формула преобразования: $a \sin x + b \cos x = C \sin(x+t)$, где амплитуда $C = \sqrt{a^2+b^2}$, а вспомогательный угол $t$ определяется из условий $\cos t = \frac{a}{C}$ и $\sin t = \frac{b}{C}$. Также можно использовать формулу $a \sin x + b \cos x = C \cos(x-t)$, где $C = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos t = \frac{b}{C}$ и $\sin t = \frac{a}{C}$. В решениях ниже мы будем приводить выражение к виду $C \sin(x+t)$, находя $C$ и $t$.

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x$

В данном выражении коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

2. Вынесем $C=2$ за скобки:

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.

3. Теперь нам нужно найти угол $t$, такой что $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin t = \frac{1}{2}$. Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что таким углом является $t = \frac{\pi}{6}$.

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x \right)$.

5. Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, сворачиваем выражение в скобках:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Ответ: $2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

б) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$

В данном выражении коэффициенты $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Вынесем $C=2$ за скобки:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.

3. Найдем угол $t$, такой что $\cos t = \frac{1}{2}$ и $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $t = \frac{\pi}{3}$.

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x \right)$.

5. Применяя формулу синуса суммы, получаем:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

в) $\sin x - \cos x$

В данном выражении коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Вынесем $C=\sqrt{2}$ за скобки:

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$.

3. Найдем угол $t$, такой что $\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Этим условиям соответствует угол $t = -\frac{\pi}{4}$ (или $t = \frac{7\pi}{4}$).

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \sin x + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \cos x \right)$.

5. Используя формулу синуса суммы, получаем:

$\sqrt{2} \sin\left(x + \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

г) $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x$

Сначала упростим коэффициент при косинусе: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Выражение принимает вид: $2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x$.

Здесь коэффициенты $a = 2$ и $b = -2\sqrt{3}$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

2. Вынесем $C=4$ за скобки:

$2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x = 4 \left( \frac{2}{4} \sin x - \frac{2\sqrt{3}}{4} \cos x \right) = 4 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.

3. Найдем угол $t$, такой что $\cos t = \frac{1}{2}$ и $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $t = \frac{5\pi}{3}$).

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$4 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \sin x + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \cos x \right)$.

5. Применяя формулу синуса суммы, получаем:

$4 \sin\left(x + \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 4 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $4 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.