Номер 30.6, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

a) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x;$

в) $y = \sin x - \cos x;$

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x.$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции вида $y = a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании исходного выражения к виду $y = R \sin(x + \varphi)$ или $y = R \cos(x - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда колебания.

Вынесем $\sqrt{a^2 + b^2}$ за скобки:

$y = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$

Так как $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 = 1$, то существует угол $\varphi$, такой что $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ и $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Тогда выражение преобразуется с использованием формулы синуса суммы:

$y = \sqrt{a^2 + b^2} (\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)$

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений функции $y$ будет $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\sqrt{a^2+b^2}$, а наибольшее — $\sqrt{a^2+b^2}$.

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

В данном случае коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее значение равно $2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $2$.

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее значение равно $2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $2$.

в) $y = \sin x - \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее значение равно $\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-\sqrt{2}$, наибольшее значение $\sqrt{2}$.

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = \sqrt{6}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2\sqrt{2}$, а наибольшее значение равно $2\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-2\sqrt{2}$, наибольшее значение $2\sqrt{2}$.