Номер 30.13, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.13. При каком значении параметра $a$ наименьшее значение заданной функции равно числу $m$:

a) $y = -9 \sin 1,4x - 12 \cos 1,4x + a, m = 1$;

б) $y = 3,5 \sin 0,2x - 12 \cos 0,2x + a, m = -1?$

Для нахождения наименьшего значения функции вида $y = A \sin(kx) + B \cos(kx) + a$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение $A \sin(kx) + B \cos(kx)$ можно преобразовать к виду $R \sin(kx + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.

Область значений функции синус - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $R \sin(kx + \phi)$ - это отрезок $[-R, R]$. Таким образом, наименьшее значение выражения $A \sin(kx) + B \cos(kx)$ равно $-R = -\sqrt{A^2 + B^2}$.

Наименьшее значение всей функции $y$ определяется как сумма наименьшего значения тригонометрической части и константы $a$:$y_{min} = -\sqrt{A^2 + B^2} + a$.По условию задачи, $y_{min} = m$. Отсюда мы можем найти параметр $a$:$a = m + \sqrt{A^2 + B^2}$.

а) Дана функция $y = -9 \sin 1,4x - 12 \cos 1,4x + a$ и $m = 1$.В данном случае коэффициенты $A = -9$ и $B = -12$.Найдем амплитуду $R$:$R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.Наименьшее значение функции $y$ равно:$y_{min} = -R + a = -15 + a$.По условию, наименьшее значение функции должно быть равно $m = 1$:$-15 + a = 1$.Решая это уравнение относительно $a$, получаем:$a = 1 + 15 = 16$.Ответ: $a=16$.

б) Дана функция $y = 3,5 \sin 0,2x - 12 \cos 0,2x + a$ и $m = -1$.В данном случае коэффициенты $A = 3,5$ и $B = -12$.Найдем амплитуду $R$:$R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(3,5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{12,25 + 144} = \sqrt{156,25} = 12,5$.Наименьшее значение функции $y$ равно:$y_{min} = -R + a = -12,5 + a$.По условию, наименьшее значение функции должно быть равно $m = -1$:$-12,5 + a = -1$.Решая это уравнение относительно $a$, получаем:$a = -1 + 12,5 = 11,5$.Ответ: $a=11,5$.