Номер 30.19, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.19. a) $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0;$

б) $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0.$

а)

Дано уравнение: $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$.

Сначала преобразуем выражение $\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x$ с помощью метода введения вспомогательного угла.

Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x + \frac{1}{2} \sin 5x)$.

Заметим, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Тогда выражение в скобках можно свернуть по формуле синуса суммы $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:

$2(\sin(\frac{\pi}{3}) \cos 5x + \cos(\frac{\pi}{3}) \sin 5x) = 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим это обратно в исходное уравнение:

$2 \sin 17x + 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Разделим обе части на 2:

$\sin 17x + \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Используем формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$:

$2 \sin(\frac{17x + 5x + \frac{\pi}{3}}{2}) \cos(\frac{17x - (5x + \frac{\pi}{3})}{2}) = 0$.

$2 \sin(\frac{22x + \frac{\pi}{3}}{2}) \cos(\frac{12x - \frac{\pi}{3}}{2}) = 0$.

$\sin(11x + \frac{\pi}{6}) \cos(6x - \frac{\pi}{6}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin(11x + \frac{\pi}{6}) = 0$

$11x + \frac{\pi}{6} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$11x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(6x - \frac{\pi}{6}) = 0$

$6x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$6x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n$

$6x = \frac{3\pi + \pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

$x = \frac{2\pi}{18} + \frac{\pi n}{6} = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$.

Перенесем слагаемое $13 \sin 3x$ в правую часть:

$5 \sin x - 12 \cos x = -13 \sin 3x$.

Преобразуем левую часть $5 \sin x - 12 \cos x$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

$13(\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x) = -13 \sin 3x$.

Разделим обе части на 13:

$\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x = -\sin 3x$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. (Такой угол существует, так как $(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = \frac{169}{169} = 1$). Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$.

Тогда левая часть уравнения принимает вид:

$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x$.

По формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ это выражение равно $\sin(x - \alpha)$.

Уравнение становится:

$\sin(x - \alpha) = -\sin 3x$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-A) = -\sin A$, получаем:

$\sin(x - \alpha) = \sin(-3x)$.

Равенство $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

$A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим это к нашему уравнению, где $A = x - \alpha$ и $B = -3x$.

1) $x - \alpha = -3x + 2\pi k$

$4x = \alpha + 2\pi k$

$x = \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \alpha = \pi - (-3x) + 2\pi n$

$x - \alpha = \pi + 3x + 2\pi n$

$-2x = \pi + \alpha + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} - \pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то $-n$ тоже любое целое, и эту серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\arccos(\frac{5}{13}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arccos(\frac{5}{13}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.