Номер 30.21, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.21. a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{5\pi} x;$

б) $\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}.$

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{5\pi}x$. Это уравнение содержит тригонометрическую и линейную части, поэтому решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла (R-формулу) для выражения $a \sin x + b \cos x$. Для выражения $\sqrt{3} \sin x + 1 \cos x$ имеем $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$. Находим $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Вынесем $2$ за скобки: $2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$. Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то выражение в скобках можно свернуть по формуле синуса суммы: $2(\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Теперь исходное уравнение принимает вид: $2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 = \frac{12}{5\pi}x$.

Оценим множество значений левой части уравнения, $y_1(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$. Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то: $2(-1) + 2 \le 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 \le 2(1) + 2$ $0 \le y_1(x) \le 4$. Таким образом, значения левой части уравнения находятся в отрезке $[0, 4]$.

Правая часть уравнения, $y_2(x) = \frac{12}{5\pi}x$, является линейной функцией, график которой — прямая, проходящая через начало координат.

Для существования решения необходимо, чтобы $y_1(x) = y_2(x)$. Если $x < 0$, то $y_2(x) < 0$, в то время как $y_1(x) \ge 0$. Следовательно, при $x < 0$ решений нет. Если $y_2(x) > 4$, то решений также нет. Найдем, при каких $x$ это происходит: $\frac{12}{5\pi}x > 4 \implies x > \frac{20\pi}{12} \implies x > \frac{5\pi}{3}$. Таким образом, возможные решения могут лежать только в отрезке $[0, \frac{5\pi}{3}]$.

Попробуем найти решение методом подбора, проверяя "удобные" значения $x$ из этого отрезка. Проверим $x = \frac{5\pi}{6}$: Левая часть: $2 \sin(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = 2 \sin(\pi) + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Правая часть: $\frac{12}{5\pi} \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{12}{6} = 2$. Поскольку левая и правая части равны, $x = \frac{5\pi}{6}$ является решением уравнения.

Докажем, что это решение единственное. Рассмотрим функцию $g(x) = y_1(x) - y_2(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 - \frac{12}{5\pi}x$. При $x = \frac{5\pi}{6}$ имеем $g(\frac{5\pi}{6})=0$. Найдём производную: $g'(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{12}{5\pi}$. В точке $x = \frac{5\pi}{6}$ производная равна $g'(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cos(\pi) - \frac{12}{5\pi} = -2 - \frac{12}{5\pi} < 0$. Это значит, что функция $g(x)$ убывает в этой точке. На отрезке $[0, \frac{5\pi}{6}]$ функция $y_1(x)$ сначала возрастает от $y_1(0)=3$ до максимума $4$ (при $x=\pi/3$), а затем убывает до $y_1(\frac{5\pi}{6})=2$. Функция $y_2(x)$ монотонно возрастает от $y_2(0)=0$ до $y_2(\frac{5\pi}{6})=2$. Так как в точке $x=0$ $y_1(0)>y_2(0)$, а в точке $x=5\pi/6$ они равны, и $y_2$ монотонна, они пересекаются ровно один раз. На интервале $(\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{3}]$ функция $y_2(x)$ продолжает монотонно возрастать от $2$ до $4$. Функция $y_1(x)$ убывает от $2$ до $0$ (при $x=4\pi/3$) и затем возрастает до $1$ (при $x=5\pi/3$). Очевидно, что на этом интервале $y_2(x) > y_1(x)$, поэтому других пересечений нет. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6}$

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}$.

Преобразуем левую часть уравнения, $\sqrt{2} (\cos x - \sin x)$. Используем метод вспомогательного угла. $\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x)$. Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, применяем формулу косинуса суммы $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$: $2(\cos(\frac{\pi}{4})\cos x - \sin(\frac{\pi}{4})\sin x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид: $2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 2x - \frac{\pi}{2}$.

Разделим обе части на 2: $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = x - \frac{\pi}{4}$.

Для упрощения введем замену: пусть $u = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда $x = u - \frac{\pi}{4}$. Подставим это в правую часть: $x - \frac{\pi}{4} = (u - \frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = u - \frac{\pi}{2}$. Уравнение в новых переменных: $\cos u = u - \frac{\pi}{2}$.

Решим это уравнение. Можно заметить, что $u=\frac{\pi}{2}$ является корнем: Левая часть: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Правая часть: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Так как $0=0$, $u = \frac{\pi}{2}$ — корень уравнения.

Докажем, что этот корень единственный. Рассмотрим функцию $f(u) = \cos u - u + \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти нули этой функции. Найдем её производную: $f'(u) = -\sin u - 1$. Поскольку $-1 \le \sin u \le 1$, то $-1-1 \le -\sin u - 1 \le 1-1$, то есть $-2 \le f'(u) \le 0$. Производная $f'(u)$ всегда неположительна и равна нулю только в точках, где $\sin u = -1$ (например, $u = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$). Поскольку производная не равна нулю на каком-либо интервале, функция $f(u)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть равняться нулю) не более одного раза. Так как мы нашли один корень $u = \frac{\pi}{2}$, он является единственным.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. $u = x + \frac{\pi}{4} \implies \frac{\pi}{2} = x + \frac{\pi}{4}$. $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$