Номер 30.16, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

30.16. а) $ \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2} $;

б) $ \sin 5x - \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2} $;

в) $ \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0 $;

г) $ \sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1 $.

а) $ \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2} $
Данное уравнение имеет вид $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Коэффициенты при синусе и косинусе: $a = \sqrt{3}$, $b = 1$.
Найдем вспомогательный множитель: $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $.
Разделим обе части уравнения на 2:
$ \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3}) $. Подставим эти значения в уравнение:
$ \cos(\frac{\pi}{3}) \cos 2x + \sin(\frac{\pi}{3}) \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:
$ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его:
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
Рассмотрим два случая:
1) $ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{24} + \pi n $
2) $ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{24} + \pi n $
Ответ: $ x = \frac{7\pi}{24} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 5x - \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2} $
Это уравнение вида $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $, где $ a = 1, b = -1 $.
Вспомогательный множитель: $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 5x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 5x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 5x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Заметим, что $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) $. Подставим:
$ \sin 5x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos 5x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:
$ \sin(5x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Решим это уравнение:
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ 5x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^k \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^k \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos\frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{2} + 1 = 0 $
Перенесем 1 в правую часть: $ \cos\frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{2} = -1 $.
Это уравнение вида $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $, где $ a = -\sqrt{3}, b = 1 $.
Вспомогательный множитель: $ \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.
Разделим обе части уравнения на 2:
$ \frac{1}{2} \cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $
Заменим коэффициенты на значения косинуса и синуса угла $ \frac{\pi}{3} $:
$ \cos(\frac{\pi}{3}) \cos\frac{x}{2} - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $
Применим формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $:
$ \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Решим полученное уравнение:
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
Рассмотрим два случая:
1) $ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n $
2) $ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = -\pi + 2\pi n \implies x = -2\pi + 4\pi n $
Ответ: $ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = -2\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} = 1 $
Это уравнение вида $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $, где $ a = 1, b = 1 $.
Вспомогательный множитель: $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{x}{3} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заменим коэффициенты: $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) $:
$ \sin\frac{x}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{x}{3} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $:
$ \sin(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решим уравнение:
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $
Рассмотрим случаи для четных и нечетных $ k $:
1) $ k = 2n $ (четное): $ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies \frac{x}{3} = 2\pi n \implies x = 6\pi n $
2) $ k = 2n+1 $ (нечетное): $ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) \implies \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n $
Ответ: $ x = 6\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.