Номер 30.20, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.20. a) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)$;

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Преобразуем левую и правую части уравнения, приводя их к одному аргументу.

Выражение в скобках в левой части преобразуем по формуле вспомогательного угла: $a \sin x + b \cos x = R \cos(x-\alpha)$, где $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\alpha = \frac{b}{R}$, $\sin\alpha = \frac{a}{R}$.

Для $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ имеем $a=1, b=\sqrt{3}$. Тогда $R=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$.

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2(\sin(\frac{\pi}{6})\sin x + \cos(\frac{\pi}{6})\cos x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Правую часть уравнения преобразуем, используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{6} - x) = \cos(-(x - \frac{\pi}{6})) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2\cos(x - \frac{\pi}{6}))^2 - 5 = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

$4\cos^2(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x - \frac{\pi}{6}) - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - t - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ и $t_2 = \frac{1 - 9}{8} = -1$.

Корень $t_1 = \frac{5}{4} > 1$, он не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, следовательно, является посторонним.

Рассмотрим второй корень $t_2 = -1$.

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = -1$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения:

$x - \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos(x + \frac{\pi}{3})$

Преобразуем выражение в скобках в левой части с помощью метода вспомогательного угла:

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x) = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Тогда левая часть уравнения примет вид:

$(2\sin(x - \frac{\pi}{6}))^2 + 1 = 4\sin^2(x - \frac{\pi}{6}) + 1$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$4 \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - x - \frac{\pi}{3}\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$4 \sin(\frac{\pi}{6} - x) = 4 \sin(-(x - \frac{\pi}{6})) = -4\sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Подставим преобразованные части в уравнение:

$4\sin^2(x - \frac{\pi}{6}) + 1 = -4\sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Перенесем все члены в левую часть:

$4\sin^2(x - \frac{\pi}{6}) + 4\sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin(x - \frac{\pi}{6})$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 4t + 1 = 0$.

Это формула квадрата суммы: $(2t + 1)^2 = 0$.

Отсюда $2t + 1 = 0$, то есть $t = -\frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене:

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Уравнение имеет две серии решений:

1) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{8\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n; \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.