Номер 30.22, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.22. Решите неравенство:

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x > 1$;

б) $3 \sin x - 4 \cos x < 2,5$.

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x > 1$

Для решения неравенств вида $a \sin x + b \cos x > c$ используем метод введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Найдем $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части исходного неравенства на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x > \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Подставим эти значения в неравенство:

$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x > \frac{1}{2}$

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получаем:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) > \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Пусть $t = x + \frac{\pi}{6}$, тогда неравенство примет вид $\sin t > \frac{1}{2}$.

Решениями уравнения $\sin t = \frac{1}{2}$ являются $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$ выполняется, когда угол $t$ находится в интервале между этими значениями на единичной окружности:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2\pi n < x < \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$

$2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin x - 4 \cos x < 2,5$

Аналогично предыдущему пункту, используем метод введения вспомогательного угла. Здесь $a = 3$ и $b = -4$.

Найдем множитель $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части неравенства на 5:

$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x < \frac{2,5}{5}$

$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x < 0,5$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin\alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$. Угол $\alpha$ можно выразить через аркфункцию, например, $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ (или $\alpha = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$).

Подставим эти значения в левую часть неравенства:

$\cos\alpha \sin x - \sin\alpha \cos x < 0,5$

Используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем:

$\sin(x - \alpha) < 0,5$ или $\sin(x - \alpha) < \frac{1}{2}$

Пусть $t = x - \alpha$, тогда $\sin t < \frac{1}{2}$.

Неравенство $\sin t < \frac{1}{2}$ выполняется, когда точка на единичной окружности, соответствующая углу $t$, находится ниже прямой $y=1/2$. Это соответствует интервалу, который можно записать так:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выполним обратную замену $t = x - \alpha$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x - \alpha < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Прибавим $\alpha$ ко всем частям двойного неравенства:

$\alpha - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \alpha + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Подставим значение $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$:

$\arccos\left(\frac{3}{5}\right) - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(\arccos\left(\frac{3}{5}\right) - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$.