Номер 30.24, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство:

30.24. a) $2 \sin^2 x + \sin 2x < 2.5$;

б) $16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \le 25$.

а) Чтобы доказать неравенство $2 \sin^2 x + \sin 2x < 2,5$, преобразуем его левую часть. Используем формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $.
$2 \sin^2 x + \sin 2x = 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} + \sin 2x = 1 - \cos 2x + \sin 2x = 1 + (\sin 2x - \cos 2x)$.
Теперь оценим максимальное значение выражения $ \sin 2x - \cos 2x $. Воспользуемся методом вспомогательного угла. Выражение вида $ a \sin \alpha + b \cos \alpha $ можно представить в виде $ \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\alpha + \phi) $.
Для $ \sin 2x - \cos 2x $ имеем $ a = 1 $, $ b = -1 $. Тогда $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.
Следовательно, $ \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) = \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) $.
Наибольшее значение функции синус равно 1. Поэтому максимальное значение выражения $ \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) $ равно $ \sqrt{2} $.
Таким образом, максимальное значение всей левой части исходного неравенства равно $ 1 + \sqrt{2} $.
Осталось доказать, что $ 1 + \sqrt{2} < 2,5 $.
$ \sqrt{2} < 1,5 $.
Возведем обе части в квадрат (так как они обе положительны): $ (\sqrt{2})^2 < (1,5)^2 $, что дает $ 2 < 2,25 $.
Это верное неравенство. Так как максимальное значение левой части строго меньше 2,5, то и исходное неравенство выполняется при любых значениях $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $ 16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \le 25 $, преобразуем его левую часть.
Используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $. Применим ее для $ \alpha = 3x $:
$ \sin^2 3x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - \cos 6x}{2} $.
Подставим это в левую часть неравенства:
$ 16 \left(\frac{1 - \cos 6x}{2}\right) + 15 \sin 6x = 8(1 - \cos 6x) + 15 \sin 6x = 8 - 8 \cos 6x + 15 \sin 6x $.
Теперь оценим максимальное значение выражения $ 15 \sin 6x - 8 \cos 6x $. Воспользуемся методом вспомогательного угла, как и в предыдущем пункте.
Для выражения вида $ a \sin \alpha + b \cos \alpha $ максимальное значение равно $ \sqrt{a^2 + b^2} $.
В нашем случае $ a = 15 $, $ b = -8 $.
Максимальное значение $ 15 \sin 6x - 8 \cos 6x $ равно $ \sqrt{15^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 $.
Следовательно, максимальное значение всей левой части исходного неравенства равно $ 8 + 17 = 25 $.
Поскольку максимальное значение левой части равно 25, то для любых значений $x$ выполняется неравенство $ 16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \le 25 $.
Ответ: Неравенство доказано.