Номер 31.1, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.1. a) $\sin(x - 1) = \cos(x + 2);$

б) $\sin(3x + 3) = \cos(x - 1).$

a) Решим уравнение $sin(x - 1) = cos(x + 2)$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Применив ее к правой части уравнения, получим:

$cos(x + 2) = sin(\frac{\pi}{2} - (x + 2)) = sin(\frac{\pi}{2} - x - 2)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$sin(x - 1) = sin(\frac{\pi}{2} - x - 2)$.

Уравнение вида $sin(A) = sin(B)$ равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B + 2\pi k$

$A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первый случай:

$x - 1 = \frac{\pi}{2} - x - 2 + 2\pi k$

$x + x = \frac{\pi}{2} - 2 + 1 + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{2} - 1 + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй случай:

$x - 1 = \pi - (\frac{\pi}{2} - x - 2) + 2\pi k$

$x - 1 = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2 + 2\pi k$

$x - 1 = \frac{\pi}{2} + x + 2 + 2\pi k$

$-1 = \frac{\pi}{2} + 2 + 2\pi k$

$-3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Это равенство не может выполняться ни при каком целом значении $k$, следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $sin(3x + 3) = cos(x - 1)$.

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$cos(x - 1) = sin(\frac{\pi}{2} - (x - 1)) = sin(\frac{\pi}{2} - x + 1)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$sin(3x + 3) = sin(\frac{\pi}{2} - x + 1)$.

Уравнение вида $sin(A) = sin(B)$ решается через рассмотрение двух случаев:

$A = B + 2\pi k$

$A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первый случай:

$3x + 3 = \frac{\pi}{2} - x + 1 + 2\pi k$

$3x + x = \frac{\pi}{2} + 1 - 3 + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{2} - 2 + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{8} - \frac{2}{4} + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй случай:

$3x + 3 = \pi - (\frac{\pi}{2} - x + 1) + 2\pi k$

$3x + 3 = \pi - \frac{\pi}{2} + x - 1 + 2\pi k$

$3x + 3 = \frac{\pi}{2} + x - 1 + 2\pi k$

$3x - x = \frac{\pi}{2} - 1 - 3 + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{2} - 4 + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} - 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае мы получили две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{4} - 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.