Номер 31.4, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.4. a) $2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1;$

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \cos^2 x = 1.$

а) Для решения уравнения $2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1$ воспользуемся формулой понижения степени $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$. Применив ее к члену $2\cos^2 5x$, получим:

$1 + \cos(10x) + \cos 3x = 1$

Упростив, имеем:

$\cos(10x) + \cos 3x = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+3x}{2}\cos\frac{10x-3x}{2} = 0$

$\cos\frac{13x}{2} \cdot \cos\frac{7x}{2} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos\frac{13x}{2} = 0$, откуда следует $\frac{13x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = \frac{\pi(2k+1)}{13}$.

2) $\cos\frac{7x}{2} = 0$, откуда следует $\frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = \frac{\pi(2n+1)}{7}$.

Ответ: $x = \frac{\pi(2k+1)}{13}, x = \frac{\pi(2n+1)}{7}$, где $k, n \in Z$.

б) Рассмотрим уравнение $\sin 5x + \sin x + 2\cos^2 x = 1$. Преобразуем его, перенеся $2\cos^2 x$ в правую часть:

$\sin 5x + \sin x = 1 - 2\cos^2 x$

В левой части применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

$2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2\sin 3x \cos 2x$

Правая часть, согласно формуле косинуса двойного угла, равна $1 - 2\cos^2 x = -\cos 2x$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2\sin 3x \cos 2x = -\cos 2x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$2\sin 3x \cos 2x + \cos 2x = 0$

$\cos 2x (2\sin 3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos 2x = 0$, откуда следует $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

2) $2\sin 3x + 1 = 0$, или $\sin 3x = -\frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения: $3x = (-1)^{n}\arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in Z$.