gdz.top
Номер 31.9, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 31. Методы решения тригонометрических уравнений - номер 31.9, страница 186.
№31.8
№31.9 (с. 186)
Условие. №31.9 (с. 186)
31.9. $8 \sin^6 x + 3 \cos 2x + 2 \cos 4x + 1 = 0.$
Решение 1. №31.9 (с. 186)
Решение 2. №31.9 (с. 186)
Решение 3. №31.9 (с. 186)
Дано уравнение: $8 \sin^6 x + 3 \cos 2x + 2 \cos 4x + 1 = 0$.
Для решения преобразуем все члены уравнения так, чтобы они содержали только одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента. Удобнее всего выразить все через $\cos 2x$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ и формулу двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2(2x) - 1$.
Преобразуем член $8 \sin^6 x$:
$$8 \sin^6 x = 8 (\sin^2 x)^3 = 8 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^3 = 8 \frac{(1 - \cos 2x)^3}{8} = (1 - \cos 2x)^3$$Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$$(1 - \cos 2x)^3 + 3 \cos 2x + 2(2\cos^2(2x) - 1) + 1 = 0$$Упростим:
$$(1 - \cos 2x)^3 + 3 \cos 2x + 4\cos^2(2x) - 2 + 1 = 0$$ $$(1 - \cos 2x)^3 + 3 \cos 2x + 4\cos^2(2x) - 1 = 0$$Введем замену $t = \cos 2x$. Тогда уравнение примет вид:
$$(1 - t)^3 + 3t + 4t^2 - 1 = 0$$Раскроем куб разности и приведем подобные слагаемые:
$$(1 - 3t + 3t^2 - t^3) + 3t + 4t^2 - 1 = 0$$ $$-t^3 + 7t^2 = 0$$Вынесем общий множитель $-t^2$:
$$-t^2(t - 7) = 0$$Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 7$.
Выполним обратную замену:
1. $\cos 2x = 0$.
Это уравнение имеет решения $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos 2x = 7$.
Данное уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1 (область значений функции $y=\cos(z)$ это отрезок $[-1, 1]$).
Таким образом, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 31.9 расположенного на странице 186 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.9 (с. 186), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.