Номер 31.16, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.16. $ \text{tg} x + \text{ctg} x = 3 + \cos 4x. $

Исходное уравнение: $ \tg x + \ctg x = 3 + \cos 4x $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $ \tg x $ определен, когда $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $. Котангенс $ \ctg x $ определен, когда $ \sin x \ne 0 $, то есть $ x \ne \pi k, k \in Z $. Объединяя эти условия, получаем, что $ \sin x \cos x \ne 0 $, что эквивалентно $ \frac{1}{2}\sin 2x \ne 0 $, или $ \sin 2x \ne 0 $. Это означает, что $ 2x \ne \pi m $, то есть $ x \ne \frac{\pi m}{2} $ для любого целого $ m $.

Преобразуем левую часть уравнения, используя определения тангенса и котангенса:
$ \tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, получаем:
$ \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} $.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 1 - 2\sin^2 2x $.
Правая часть принимает вид:
$ 3 + \cos 4x = 3 + (1 - 2\sin^2 2x) = 4 - 2\sin^2 2x $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$ \frac{2}{\sin 2x} = 4 - 2\sin^2 2x $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \sin 2x $. Учитывая ОДЗ ($ \sin 2x \ne 0 $) и область значений синуса, имеем $ y \in [-1, 1], y \ne 0 $.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{2}{y} = 4 - 2y^2 $.
Умножим обе части на $ y $ (так как $ y \ne 0 $):
$ 2 = 4y - 2y^3 $.
Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2:
$ 2y^3 - 4y + 2 = 0 $
$ y^3 - 2y + 1 = 0 $.

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. Легко заметить, что $ y=1 $ является корнем, так как $ 1^3 - 2(1) + 1 = 0 $. Разделим многочлен $ y^3 - 2y + 1 $ на $ (y-1) $:
$ (y^3 - 2y + 1) : (y - 1) = y^2 + y - 1 $.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$ (y - 1)(y^2 + y - 1) = 0 $.
Отсюда получаем два уравнения:
1) $ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 $.
2) $ y^2 + y - 1 = 0 $. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5 $.
$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Итак, мы получили три корня для $ y $: $ y_1 = 1 $, $ y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $, $ y_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $ y \in [-1, 1], y \ne 0 $:
- $ y_1 = 1 $. Удовлетворяет условию.
- $ y_2 = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx \frac{2.236-1}{2} \approx 0.618 $. Удовлетворяет условию, так как $ -1 < 0.618 < 1 $.
- $ y_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1-2.236}{2} \approx -1.618 $. Не удовлетворяет условию, так как $ -1.618 < -1 $.
Следовательно, у нас есть два возможных значения для $ \sin 2x $.

Вернемся к исходной переменной $ x $.
Рассмотрим первый случай: $ \sin 2x = 1 $.
$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in Z $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.
Эти корни удовлетворяют ОДЗ ($ x \ne \frac{\pi m}{2} $).

Рассмотрим второй случай: $ \sin 2x = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.
Общее решение для уравнения $ \sin \alpha = a $ ($ |a| \le 1 $) имеет вид $ \alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in Z $.
$ 2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \pi k, \text{ где } k \in Z $.
$ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $.
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, поскольку $ \frac{\sqrt{5}-1}{2} \ne 0 $, значит $ \sin 2x \ne 0 $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $; $ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $.