Номер 31.11, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.11. a) $3|\cos x| + 2 \cos x = 5|\sin x| - 3 \sin x$;

б) $7|\cos x| - 4 \cos x = 3|\sin x| + 2 \sin x$.

а) Для решения уравнения $3|\cos x| + 2\cos x = 5|\sin x| - 3\sin x$ необходимо рассмотреть четыре случая, раскрывая модули в зависимости от знаков $\cos x$ и $\sin x$ в координатных четвертях.
1. Первая четверть ($ \cos x \ge 0, \sin x \ge 0 $): Уравнение принимает вид $3\cos x + 2\cos x = 5\sin x - 3\sin x$, что упрощается до $5\cos x = 2\sin x$. Если $\cos x \ne 0$, то $\mathrm{tg}\,x = \frac{5}{2}$. Решение $x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{2}$ принадлежит первой четверти. Серия решений для этого случая: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Вторая четверть ($ \cos x < 0, \sin x > 0 $): Уравнение становится $3(-\cos x) + 2\cos x = 5\sin x - 3\sin x$, что дает $-\cos x = 2\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -\frac{1}{2}$. Решение во второй четверти имеет вид $x = \pi + \mathrm{arctg}\,(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{1}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Третья четверть ($ \cos x < 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $3(-\cos x) + 2\cos x = 5(-\sin x) - 3\sin x$, что дает $-\cos x = -8\sin x$ или $\cos x = 8\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = \frac{1}{8}$. Решение в третьей четверти имеет вид $x = \pi + \mathrm{arctg}\,\frac{1}{8} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Четвертая четверть ($ \cos x > 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $3\cos x + 2\cos x = 5(-\sin x) - 3\sin x$, что дает $5\cos x = -8\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -\frac{5}{8}$. Решение в четвертой четверти имеет вид $x = \mathrm{arctg}\,(-\frac{5}{8}) + 2\pi k = -\mathrm{arctg}\,\frac{5}{8} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка на координатных осях, где $\sin x=0$ или $\cos x=0$, не дает решений. Объединяя все найденные серии решений, получаем ответ.
Ответ: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{2} + 2\pi k; x = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{1}{2} + 2\pi k; x = \pi + \mathrm{arctg}\,\frac{1}{8} + 2\pi k; x = -\mathrm{arctg}\,\frac{5}{8} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $7|\cos x| - 4\cos x = 3|\sin x| + 2\sin x$ также рассмотрим четыре случая.
1. Первая четверть ($ \cos x \ge 0, \sin x \ge 0 $): Уравнение принимает вид $7\cos x - 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x$, что упрощается до $3\cos x = 5\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = \frac{3}{5}$. Серия решений: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{3}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Вторая четверть ($ \cos x < 0, \sin x > 0 $): Уравнение становится $7(-\cos x) - 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x$, что дает $-11\cos x = 5\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -\frac{11}{5}$. Решения в этой четверти: $x = \pi + \mathrm{arctg}\,(-\frac{11}{5}) + 2\pi k = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{11}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Третья четверть ($ \cos x < 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $7(-\cos x) - 4\cos x = 3(-\sin x) + 2\sin x$, что дает $-11\cos x = -\sin x$ или $11\cos x = \sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = 11$. Решения в этой четверти: $x = \pi + \mathrm{arctg}\,11 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Четвертая четверть ($ \cos x > 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $7\cos x - 4\cos x = 3(-\sin x) + 2\sin x$, что дает $3\cos x = -\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -3$. Решения в этой четверти: $x = \mathrm{arctg}\,(-3) + 2\pi k = -\mathrm{arctg}\,3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка на осях не дает решений. Объединяя все серии, получаем ответ.
Ответ: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{3}{5} + 2\pi k; x = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{11}{5} + 2\pi k; x = \pi + \mathrm{arctg}\,11 + 2\pi k; x = -\mathrm{arctg}\,3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.