Номер 31.7, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.7. а) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2 \frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2;$

б) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2.$

а) $ \sin^2\frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2\frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2 $

Для решения применим формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $. Применим ее к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$ \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} + \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{5x}{2})}{2} + \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = 2 $

$ \frac{1 - \cos x}{2} + \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 5x}{2} + \frac{1 - \cos 4x}{2} = 2 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 - \cos x) + (1 - \cos 2x) + (1 - \cos 5x) + (1 - \cos 4x) = 4 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 4 - \cos x - \cos 2x - \cos 5x - \cos 4x = 4 $

$ -(\cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x) = 0 $

$ \cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:

$ (\cos x + \cos 5x) + (\cos 2x + \cos 4x) = 0 $

$ 2 \cos\frac{x+5x}{2} \cos\frac{5x-x}{2} + 2 \cos\frac{2x+4x}{2} \cos\frac{4x-2x}{2} = 0 $

$ 2\cos(3x)\cos(2x) + 2\cos(3x)\cos(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos(3x) $ за скобки:

$ 2\cos(3x)(\cos(2x) + \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $ \cos(3x) = 0 $

2) $ \cos(2x) + \cos(x) = 0 $

Решим первое уравнение:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение. Используем формулу двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 $:

$ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \cos(x) $. Сделаем замену $ t = \cos(x) $, получим $ 2t^2 + t - 1 = 0 $. Корни этого уравнения: $ t_1 = \frac{1}{2} $ и $ t_2 = -1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

Если $ \cos(x) = \frac{1}{2} $, то $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Если $ \cos(x) = -1 $, то $ x = \pi + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений можно объединить в одну: $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi j}{3}, \text{ где } j \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, мы получили две непересекающиеся серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi j}{3}, j \in \mathbb{Z}$.

б) $ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2 $

Применим формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = 2 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 + \cos 2x) + (1 + \cos 4x) + (1 + \cos 6x) + (1 + \cos 8x) = 4 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 4 $

$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:

$ (\cos 2x + \cos 8x) + (\cos 4x + \cos 6x) = 0 $

$ 2 \cos\frac{2x+8x}{2} \cos\frac{8x-2x}{2} + 2 \cos\frac{4x+6x}{2} \cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $

$ 2\cos(5x)\cos(3x) + 2\cos(5x)\cos(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos(5x) $ за скобки:

$ 2\cos(5x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos(5x) = 0 $

2) $ \cos(3x) + \cos(x) = 0 $

Решим первое уравнение:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение, применив формулу суммы косинусов:

$ 2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) = 0 $

$ 2\cos(2x)\cos(x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ \cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $

Объединим все найденные серии решений. Проверим, не является ли серия $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ подмножеством серии $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $. Для этого приравняем выражения для $ x $:

$ \frac{\pi}{2} + \pi m = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $

Разделим на $ \pi $: $ \frac{1}{2} + m = \frac{1}{10} + \frac{k}{5} $.

Умножим на 10: $ 5 + 10m = 1 + 2k \implies 2k = 4 + 10m \implies k = 2 + 5m $.

Так как для любого целого $ m $ значение $ k = 2+5m $ также является целым, то серия решений $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ полностью содержится в серии $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются две непересекающиеся серии $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $ и $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.