Номер 30.28, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

• 30.28. Решите уравнение: $\cos x - \sin x \cos 4x = \sqrt{2}$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую часть уравнения: $ \cos x - \sin x \cos 4x $.

Применим неравенство, основанное на свойствах модуля: $ a - b \le |a| + |b| $. В нашем случае:

$ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |-\sin x \cos 4x| = |\cos x| + |\sin x| \cdot |\cos 4x| $.

Так как область значений функции косинус есть отрезок $ [-1, 1] $, то $ |\cos 4x| \le 1 $. Используя это, мы можем продолжить нашу оценку:

$ |\cos x| + |\sin x| \cdot |\cos 4x| \le |\cos x| + |\sin x| $.

Таким образом, мы получили оценку для левой части исходного уравнения:

$ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |\sin x| $.

Теперь оценим выражение $ |\cos x| + |\sin x| $. Его максимальное значение равно $ \sqrt{2} $. Это можно показать, возведя выражение в квадрат: $ (|\cos x| + |\sin x|)^2 = |\cos x|^2 + |\sin x|^2 + 2|\cos x||\sin x| = \cos^2 x + \sin^2 x + |2\sin x \cos x| = 1 + |\sin 2x| $. Максимальное значение $ |\sin 2x| $ равно 1, следовательно, максимальное значение $ (|\cos x| + |\sin x|)^2 $ равно $ 1+1=2 $, а максимальное значение самого выражения $ |\cos x| + |\sin x| $ равно $ \sqrt{2} $.

Соединив все неравенства, получаем итоговую оценку для левой части уравнения:

$ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |\sin x| \le \sqrt{2} $.

Согласно условию задачи, левая часть равна $ \sqrt{2} $. Это возможно только в том случае, когда все неравенства в нашей цепочке обращаются в равенства. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \cos x - \sin x \cos 4x = |\cos x| + |\sin x| & (1) \\ |\cos x| + |\sin x| = \sqrt{2} & (2) \end{cases} $

Анализ этих равенств, в свою очередь, приводит к более детальным условиям. Равенство в неравенстве $ A \le |A| $ достигается при $ A \ge 0 $. Равенство в $ B \le |B| $ достигается при $ B \ge 0 $. Равенство $ A+B \le |A|+|B| $ достигается, когда $ A $ и $ B $ имеют одинаковый знак (или хотя бы один из них равен нулю).

Для того чтобы вся цепочка неравенств стала равенствами, необходима одновременная истинность следующих условий:

• $ |\cos x| + |\sin x| = \sqrt{2} $, что эквивалентно $ |\sin 2x| = 1 $. Отсюда $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, то есть $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
• $ |\cos 4x| = 1 $. Проверим это для найденных $ x $: $ 4x = 4(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) = \pi + 2\pi n $. Тогда $ \cos(4x) = \cos(\pi + 2\pi n) = -1 $, и, следовательно, $ |\cos 4x| = 1 $ выполняется.
• Неравенство $ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |\sin x| \cdot |\cos 4x| $ должно стать равенством. Это происходит, когда слагаемые $ \cos x $ и $ -\sin x \cos 4x $ неотрицательны. То есть:
  • $ \cos x \ge 0 $
  • $ -\sin x \cos 4x \ge 0 $

Подставим $ \cos 4x = -1 $ во второе условие: $ -\sin x (-1) \ge 0 $, что равносильно $ \sin x \ge 0 $.

Итак, нам нужно найти такие целые $ n $, для которых при $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ одновременно выполняются условия $ \cos x \ge 0 $ и $ \sin x \ge 0 $. Это означает, что угол $ x $ должен находиться в первой координатной четверти.

Рассмотрим различные значения $ n $:

• Если $ n = 4k $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $ и $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $. Оба условия выполнены, значит, эта серия является решением.
• Если $ n = 4k+1 $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Условие $ \cos x \ge 0 $ не выполнено.
• Если $ n = 4k+2 $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $ и $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Оба условия не выполнены.
• Если $ n = 4k+3 $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Условие $ \sin x \ge 0 $ не выполнено.

Единственная серия корней, удовлетворяющая всем условиям, это $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.