Номер 30.26, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.26. При каких значениях параметра $a$ решением неравенства является любое действительное число $x$:

а) $12 \sin 2x - 35 \cos 2x < 148a^2;$

б) $35 \sin 3x + 12 \cos 3x \geq 18,5(a^3 - 10)?$

а) Для того чтобы неравенство $12 \sin 2x - 35 \cos 2x < 148a^2$ выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть неравенства была строго больше максимального значения левой части.
Рассмотрим левую часть неравенства: выражение $f(x) = 12 \sin 2x - 35 \cos 2x$. Это выражение вида $A \sin \alpha + B \cos \alpha$, которое можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла в $R \sin(\alpha + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.
В нашем случае $A=12$, $B=-35$. Найдем амплитуду $R$:
$R = \sqrt{12^2 + (-35)^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$.
Таким образом, выражение $12 \sin 2x - 35 \cos 2x$ можно представить в виде $37 \sin(2x - \phi)$ для некоторого угла $\phi$.
Поскольку область значений функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, то область значений выражения $37 \sin(2x - \phi)$ – это отрезок $[-37; 37]$.
Следовательно, максимальное значение левой части неравенства равно $37$.
Чтобы исходное неравенство выполнялось для всех $x$, должно выполняться условие:
$37 < 148a^2$
$a^2 > \frac{37}{148}$
$a^2 > \frac{1}{4}$
Решением этого неравенства является совокупность $|a| > \frac{1}{2}$, то есть $a < -\frac{1}{2}$ или $a > \frac{1}{2}$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

б) Для того чтобы неравенство $35 \sin 3x + 12 \cos 3x \ge 18,5(a^3 - 10)$ выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть неравенства была меньше либо равна минимальному значению левой части.
Рассмотрим левую часть неравенства: выражение $g(x) = 35 \sin 3x + 12 \cos 3x$. Аналогично пункту а), найдем область значений этого выражения.
Здесь $A=35$, $B=12$. Амплитуда $R$ равна:
$R = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37$.
Область значений выражения $35 \sin 3x + 12 \cos 3x$ – это отрезок $[-37; 37]$.
Следовательно, минимальное значение левой части неравенства равно $-37$.
Чтобы исходное неравенство выполнялось для всех $x$, должно выполняться условие:
$-37 \ge 18,5(a^3 - 10)$
Заметим, что $18,5 = \frac{37}{2}$. Подставим это в неравенство:
$-37 \ge \frac{37}{2}(a^3 - 10)$
Разделим обе части на $37$:
$-1 \ge \frac{1}{2}(a^3 - 10)$
Умножим обе части на $2$:
$-2 \ge a^3 - 10$
Перенесем $-10$ в левую часть:
$10 - 2 \ge a^3$
$8 \ge a^3$ или $a^3 \le 8$
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:
$a \le 2$
Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.