Номер 31.3, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.3. $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos 2x.$

Для решения данного тригонометрического уравнения преобразуем его левую и правую части, используя тригонометрические формулы.

1. Упрощение левой части уравнения.

Левая часть уравнения имеет вид: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) + \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Применим формулы синуса и косинуса суммы:

• $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Раскроем каждое слагаемое:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2}$

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \cos x \cdot \frac{1}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сложим полученные выражения:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x) + (\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = \cos x$

Таким образом, левая часть уравнения равна $\cos x$.

2. Упрощение правой части уравнения.

Правая часть уравнения имеет вид: $1 + \cos 2x$.

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставим это выражение в правую часть:

$1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$

Таким образом, правая часть уравнения равна $2\cos^2 x$.

3. Решение полученного уравнения.

После упрощения исходное уравнение принимает вид:

$\cos x = 2\cos^2 x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2\cos^2 x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x - 1 = 0$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, что дает $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.