Номер 31.6, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.6. a) $\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1.5;$

б) $\cos^2 2x + \cos^2 4x + \cos^2 6x = 1.5.$

а) $sin^2 x + sin^2 2x + sin^2 3x = 1,5$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 - cos(2x)}{2} + \frac{1 - cos(4x)}{2} + \frac{1 - cos(6x)}{2} = 1,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 - cos(2x)) + (1 - cos(4x)) + (1 - cos(6x)) = 3$

$3 - cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 3$

Вычтем 3 из обеих частей:

$- cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 0$

$cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$:

$(cos(2x) + cos(6x)) + cos(4x) = 0$

$2 cos(\frac{2x + 6x}{2}) cos(\frac{6x - 2x}{2}) + cos(4x) = 0$

$2 cos(4x) cos(2x) + cos(4x) = 0$

Вынесем общий множитель $cos(4x)$ за скобки:

$cos(4x) (2 cos(2x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2 cos(2x) + 1 = 0$

$cos(2x) = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos^2 2x + cos^2 4x + cos^2 6x = 1,5$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $cos^2 \alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 + cos(4x)}{2} + \frac{1 + cos(8x)}{2} + \frac{1 + cos(12x)}{2} = 1,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 + cos(4x)) + (1 + cos(8x)) + (1 + cos(12x)) = 3$

$3 + cos(4x) + cos(8x) + cos(12x) = 3$

Вычтем 3 из обеих частей:

$cos(4x) + cos(8x) + cos(12x) = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$:

$(cos(4x) + cos(12x)) + cos(8x) = 0$

$2 cos(\frac{4x + 12x}{2}) cos(\frac{12x - 4x}{2}) + cos(8x) = 0$

$2 cos(8x) cos(4x) + cos(8x) = 0$

Вынесем общий множитель $cos(8x)$ за скобки:

$cos(8x) (2 cos(4x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $cos(8x) = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2 cos(4x) + 1 = 0$

$cos(4x) = -\frac{1}{2}$

$4x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.