Номер 31.12, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.12. a) $4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2}\sin x = 8 \cos \frac{x}{2}$;

б) $\frac{7}{4}\cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2}$.

а) $4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin x = 8 \cos \frac{x}{2}$

Для начала приведем все тригонометрические функции к одному аргументу $\frac{x}{2}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} (2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) = 8 \cos \frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 8 \cos \frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{2} (4 \cos^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

2) $4 \cos^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8 = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$4(1 - \sin^2 \frac{x}{2}) + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8 = 0$

$4 - 4 \sin^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8 = 0$

$-4 \sin^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 4 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$.

Корни уравнения: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$.

$t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$. Этот корень не подходит, так как $\sqrt{2} > 1$.

$t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вернемся к замене:

$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2}$

Приведем все функции к аргументу $\frac{x}{4}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае $\frac{x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{4}$, поэтому $\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$

Перенесем все члены в правую часть:

$\cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} - \frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{4}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{4} (\cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{7}{4}) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{4} = 0$

2) $\cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{7}{4} = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos \frac{x}{4} = 0$

$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$(1 - \sin^2 \frac{x}{4}) + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{7}{4} = 0$

$-\sin^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{3}{4} = 0$

Умножим уравнение на -4:

$4 \sin^2 \frac{x}{4} - 8 \sin \frac{x}{4} + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin \frac{x}{4}$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения: $t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}$.

$t_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{3}{2} > 1$.

$t_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене:

$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{4\pi}{6} + 4\pi k = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2\pi + 4\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.