Номер 31.5, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.5. a) $8 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0;$

б) $4 \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = 1,5 + \sin x.$

а) $8 \sin^2\frac{x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$8 \cdot \frac{1 - \cos x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0$

Сократим дробь:

$4(1 - \cos x) - 3 \sin x - 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - 4 \cos x - 3 \sin x - 4 = 0$

$-4 \cos x - 3 \sin x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$4 \cos x + 3 \sin x = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $\cos x$. Это действие возможно, поскольку если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что $3 \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Разделив на $\cos x$, получаем:

$4 + 3 \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$4 + 3 \tan x = 0$

$3 \tan x = -4$

$\tan x = -\frac{4}{3}$

Решение уравнения:

$x = \arctan(-\frac{4}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Используя нечетность функции арктангенс, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можем записать ответ в виде:

$x = -\arctan\frac{4}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan\frac{4}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2} = 1,5 + \sin x$

Для преобразования левой части уравнения воспользуемся формулами понижения степени: $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$ и $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$4 \left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) - \left(\frac{1 + \cos x}{2}\right) = 1,5 + \sin x$

$2(1 - \cos x) - \frac{1 + \cos x}{2} = 1,5 + \sin x$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$4(1 - \cos x) - (1 + \cos x) = 2(1,5 + \sin x)$

Раскроем скобки:

$4 - 4 \cos x - 1 - \cos x = 3 + 2 \sin x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3 - 5 \cos x = 3 + 2 \sin x$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$-5 \cos x = 2 \sin x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2 \sin x + 5 \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущем пункте, разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$2 \frac{\sin x}{\cos x} + 5 = 0$

$2 \tan x = -5$

$\tan x = -\frac{5}{2}$

Находим $x$:

$x = \arctan(-\frac{5}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Или, используя свойство нечетности арктангенса:

$x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.