Номер 30.27, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.27. Сколько целых чисел содержится в области значений функции $y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$?

Для нахождения области значений функции $y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin(x + \frac{\pi}{3}) + 3$ сначала упростим выражение.

Рассмотрим выражение в скобках: $\sin x + \sqrt{3} \cos x$. Применим метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно переписать в виде:

$2(\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x)$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходную функцию:

$y = (2 \sin(x + \frac{\pi}{3}))^2 + \sin(x + \frac{\pi}{3}) + 3$

$y = 4 \sin^2(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{3}) + 3$

Для нахождения области значений этой функции сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Функция принимает вид квадратичной функции от $t$:

$y(t) = 4t^2 + t + 3$

Теперь нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке $t \in [-1, 1]$. Графиком функции $y(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен).

Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс:

$t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8}$

Поскольку $t_в = -\frac{1}{8}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наименьшее значение функции будет достигаться в вершине параболы.

$y_{мин} = y(-\frac{1}{8}) = 4(-\frac{1}{8})^2 + (-\frac{1}{8}) + 3 = 4(\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} + 3 = \frac{1}{16} - \frac{2}{16} + \frac{48}{16} = \frac{47}{16}$

Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 1]$ будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$y(-1) = 4(-1)^2 + (-1) + 3 = 4 - 1 + 3 = 6$

$y(1) = 4(1)^2 + 1 + 3 = 4 + 1 + 3 = 8$

Сравнивая значения, получаем, что $y_{макс} = 8$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок $[\frac{47}{16}, 8]$.

Переведем $\frac{47}{16}$ в десятичную дробь: $\frac{47}{16} = 2.9375$.

Следовательно, область значений функции: $[2.9375, 8]$.

Найдем все целые числа, которые содержатся в этом отрезке. Это числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Их количество равно 6.

Ответ: 6.