Номер 30.23, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.23. При каких значениях параметра $a$ уравнение не имеет решений:

a) $5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 2a - 1;$

б) $3 \cos \frac{x}{2} - 4 \sin \frac{x}{2} + 1 = a^2?$

а) $5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 2a - 1$

Левая часть уравнения представляет собой выражение вида $A \sin \alpha + B \cos \alpha$. Для нахождения множества значений этого выражения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть, вынеся за скобки множитель $R = \sqrt{A^2+B^2}$.

В данном случае $A=5$, $B=12$. $R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

$5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 13 \left( \frac{5}{13} \sin 2x + \frac{12}{13} \cos 2x \right)$.

Так как $(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1$, то существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$. Подставив эти значения в выражение, получим: $13(\sin 2x \cos \phi + \cos 2x \sin \phi)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, преобразуем выражение к виду: $13 \sin(2x + \phi)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, множество значений выражения $13 \sin(2x + \phi)$, которое является левой частью уравнения, — это отрезок $[-13, 13]$.

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение его правой части $2a - 1$ принадлежит этому отрезку. Соответственно, уравнение не имеет решений, если значение правой части находится вне этого отрезка.

Это условие можно записать в виде совокупности неравенств: $2a - 1 < -13$ или $2a - 1 > 13$.

Решим каждое неравенство:
1) $2a - 1 < -13 \implies 2a < -12 \implies a < -6$.
2) $2a - 1 > 13 \implies 2a > 14 \implies a > 7$.

Таким образом, уравнение не имеет решений, если $a$ принадлежит объединению полученных интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; -6) \cup (7; +\infty)$.

б) $3 \cos\frac{x}{2} - 4 \sin\frac{x}{2} + 1 = a^2$

Преобразуем уравнение, перенеся 1 в правую часть: $3 \cos\frac{x}{2} - 4 \sin\frac{x}{2} = a^2 - 1$.

Левая часть уравнения, как и в предыдущем пункте, имеет вид $A \cos \alpha + B \sin \alpha$. Применим метод введения вспомогательного угла. Здесь $A=3$, $B=-4$. $R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем левую часть: $5 \left( \frac{3}{5} \cos\frac{x}{2} - \frac{4}{5} \sin\frac{x}{2} \right)$.

Так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$, то существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{3}{5}$ и $\sin \phi = \frac{4}{5}$. Тогда выражение в скобках можно записать как $\cos\frac{x}{2} \cos \phi - \sin\frac{x}{2} \sin \phi$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получаем: $5 \cos(\frac{x}{2} + \phi)$.

Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, множество значений левой части уравнения — это отрезок $[-5, 5]$.

Уравнение не будет иметь решений, если значение его правой части $a^2 - 1$ не принадлежит отрезку $[-5, 5]$.

Запишем соответствующую совокупность неравенств: $a^2 - 1 < -5$ или $a^2 - 1 > 5$.

Решим каждое неравенство:
1) $a^2 - 1 < -5 \implies a^2 < -4$. Данное неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
2) $a^2 - 1 > 5 \implies a^2 > 6$. Решением этого неравенства является $|a| > \sqrt{6}$, что эквивалентно $a < -\sqrt{6}$ или $a > \sqrt{6}$.

Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение не имеет решений при указанных значениях $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.