Номер 30.17, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.17. а) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5;$

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0;$

г) $5 \cos \frac{x}{2} - 12 \sin \frac{x}{2} = 6,5.$

а) $4 \sin x - 3 \cos x = 5$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -3$, $c = 5$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|5| \le 5$), уравнение имеет решения. Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{4}{5}$ и $\sin \phi = \frac{3}{5}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{4}{5})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\cos \phi \sin x - \sin \phi \cos x = 1$

Применяя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x - \phi) = 1$

Решением этого уравнения является:

$x - \phi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \phi + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) + \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5$

Это уравнение вида $a \sin(2x) + b \cos(2x) = c$.

Коэффициенты: $a = 3$, $b = 4$, $c = 2,5$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|2,5| \le 5$), уравнение имеет решения. Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = \frac{2,5}{5}$

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = 0,5$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{4}{5}$ и $\sin \phi = \frac{3}{5}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{4}{5})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\sin \phi \sin 2x + \cos \phi \cos 2x = 0,5$

Применяя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, получаем:

$\cos(2x - \phi) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$2x - \phi = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \phi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\phi}{2} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{4}{5}\right) \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$12 \sin x + 5 \cos x = -13$

Коэффициенты: $a = 12$, $b = 5$, $c = -13$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|-13| \le 13$), уравнение имеет решения. Разделим обе части уравнения на 13:

$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{12}{13}$ и $\sin \phi = \frac{5}{13}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{12}{13})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\cos \phi \sin x + \sin \phi \cos x = -1$

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x + \phi) = -1$

Решением этого уравнения является:

$x + \phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\phi - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = -\arccos\left(\frac{12}{13}\right) - \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $5 \cos\frac{x}{2} - 12 \sin\frac{x}{2} = 6,5$

Это уравнение вида $a \sin(\frac{x}{2}) + b \cos(\frac{x}{2}) = c$. Перепишем его для удобства:

$-12 \sin\frac{x}{2} + 5 \cos\frac{x}{2} = 6,5$

Коэффициенты: $a = -12$, $b = 5$, $c = 6,5$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|6,5| \le 13$), уравнение имеет решения. Разделим обе части исходного уравнения на 13:

$\frac{5}{13} \cos\frac{x}{2} - \frac{12}{13} \sin\frac{x}{2} = \frac{6,5}{13}$

$\frac{5}{13} \cos\frac{x}{2} - \frac{12}{13} \sin\frac{x}{2} = 0,5$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\cos \phi \cos\frac{x}{2} - \sin \phi \sin\frac{x}{2} = 0,5$

Применяя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получаем:

$\cos\left(\frac{x}{2} + \phi\right) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$\frac{x}{2} + \phi = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\phi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -2\phi \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = -2\arccos\left(\frac{5}{13}\right) \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.