Номер 30.11, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.11. a) $y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right);$

б) $y = \cos 2x + \sin 2x - \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right).$

а)

Дано выражение: $y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$.

Для упрощения этого выражения мы используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к члену $2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$.

Сначала раскроем косинус разности:

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos\frac{\pi}{6} \cos x + \sin\frac{\pi}{6} \sin x$.

Мы знаем значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения:

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right)$.

Раскроем скобки, умножив $2\sqrt{3}$ на каждый член внутри:

$y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + \left(2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos x + \left(2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\right) \sin x$.

$y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y = (\cos x + 3 \cos x) + (-\sqrt{3} \sin x + \sqrt{3} \sin x)$.

$y = 4 \cos x + 0$.

$y = 4 \cos x$.

Ответ: $y = 4 \cos x$.

б)

Дано выражение: $y = \cos 2x + \sin 2x - \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Сначала преобразуем сумму $\cos 2x + \sin 2x$ методом введения вспомогательного угла. Используем формулу $a\cos\alpha + b\sin\alpha = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\alpha-\phi)$, где $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Для $\cos 2x + \sin 2x$ имеем $a=1, b=1$. Тогда множитель $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x\right)$.

Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, выражение в скобках можно свернуть по формуле косинуса разности:

$\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} \cos 2x + \sin\frac{\pi}{4} \sin 2x\right) = \sqrt{2} \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Используя свойство четности функции косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, перепишем результат:

$\sqrt{2} \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Подставим это преобразование в исходное уравнение:

$y = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) - \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Обозначим $u = \frac{\pi}{4} - 2x$. Тогда уравнение примет вид $y = \sqrt{2} \cos u - \sqrt{7} \sin u$.

Снова применим метод вспомогательного угла. Здесь коэффициенты $a=\sqrt{2}$ и $b=-\sqrt{7}$.

Новый амплитудный множитель равен $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{7})^2} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$.

Вынесем 3 за скобки:

$y = 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{3} \cos u - \frac{\sqrt{7}}{3} \sin u\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\sin\phi = \frac{\sqrt{7}}{3}$. (Такой угол существует, поскольку $\cos^2\phi + \sin^2\phi = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{7}{9} = 1$).

Тогда выражение в скобках становится $\cos\phi \cos u - \sin\phi \sin u$, что соответствует формуле косинуса суммы $\cos(u+\phi)$.

Таким образом, $y = 3 \cos(u+\phi)$.

Возвращаясь к переменной $x$, подставляем $u = \frac{\pi}{4} - 2x$:

$y = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x + \phi\right)$, где $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Ответ: $y = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x + \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.