Страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.8. Существуют ли значения x, при которых выполняется равенство:

а) $sin 5x + cos 5x = 1.5;$

б) $3 \sin 2x - 4 \cos 2x = \sqrt{26};$

в) $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2};$

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}?$

Для решения уравнений вида $a \sin(kx) + b \cos(kx) = c$ используется метод оценки области значений левой части. Выражение $a \sin(y) + b \cos(y)$ можно преобразовать к виду $R \sin(y + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то область значений выражения $a \sin(y) + b \cos(y)$ — это отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Равенство может выполняться только в том случае, если значение $c$ (правая часть уравнения) принадлежит этому отрезку. То есть должно выполняться условие $|c| \le \sqrt{a^2+b^2}$ или, что эквивалентно, $c^2 \le a^2+b^2$. Проверим это условие для каждого из равенств.

Рассмотрим равенство $\sin 5x + \cos 5x = 1,5$.Здесь коэффициенты $a=1$, $b=1$, а правая часть $c=1,5$.Найдем область значений выражения в левой части: $[-\sqrt{1^2+1^2}, \sqrt{1^2+1^2}] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.Теперь проверим, принадлежит ли значение $c=1,5$ этому отрезку. Для этого сравним $1,5$ и $\sqrt{2}$.Возведем оба числа в квадрат:$(1,5)^2 = 2,25$$(\sqrt{2})^2 = 2$Так как $2,25 > 2$, то $1,5 > \sqrt{2}$.Значение $1,5$ больше максимального значения левой части, равного $\sqrt{2}$, и, следовательно, не входит в область её значений.Таким образом, не существует таких значений $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: не существуют.

Рассмотрим равенство $3 \sin 2x - 4 \cos 2x = \sqrt{26}$.Здесь $a=3$, $b=-4$, $c=\sqrt{26}$.Область значений левой части: $[-\sqrt{3^2+(-4)^2}, \sqrt{3^2+(-4)^2}] = [-\sqrt{9+16}, \sqrt{9+16}] = [-\sqrt{25}, \sqrt{25}] = [-5, 5]$.Проверим, принадлежит ли значение $c=\sqrt{26}$ этому отрезку. Сравним $\sqrt{26}$ и $5$.Возведем оба числа в квадрат:$(\sqrt{26})^2 = 26$$5^2 = 25$Так как $26 > 25$, то $\sqrt{26} > 5$.Значение $\sqrt{26}$ больше максимального значения левой части, равного $5$.Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: не существуют.

Рассмотрим равенство $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$.Здесь $a=1$, $b=-\sqrt{3}$, $c=\frac{\pi}{2}$.Область значений левой части: $[-\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}, \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}] = [-\sqrt{1+3}, \sqrt{1+3}] = [-\sqrt{4}, \sqrt{4}] = [-2, 2]$.Проверим, принадлежит ли значение $c=\frac{\pi}{2}$ этому отрезку.Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$.Так как $-2 \le 1,5708 \le 2$, то значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений левой части.Следовательно, существуют значения $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: существуют.

Рассмотрим равенство $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$.Здесь $a=5$, $b=12$, $c=\sqrt{170}$.Область значений левой части: $[-\sqrt{5^2+12^2}, \sqrt{5^2+12^2}] = [-\sqrt{25+144}, \sqrt{25+144}] = [-\sqrt{169}, \sqrt{169}] = [-13, 13]$.Проверим, принадлежит ли значение $c=\sqrt{170}$ этому отрезку. Сравним $\sqrt{170}$ и $13$.Возведем оба числа в квадрат:$(\sqrt{170})^2 = 170$$13^2 = 169$Так как $170 > 169$, то $\sqrt{170} > 13$.Значение $\sqrt{170}$ больше максимального значения левой части, равного $13$.Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых равенство выполняется.

Ответ: не существуют.

30.9. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$;

б) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$;

в) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$;

г) $y = \sin x - \cos x$.

а) Для построения графика функции $y = \sqrt{2}(\sin x + \cos x)$ преобразуем выражение в скобках с помощью метода вспомогательного аргумента. Формула преобразования: $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \phi)$, где $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

В выражении $\sin x + \cos x$ коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Найдем амплитуду для этого выражения: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Тогда $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$.

Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то выражение можно записать в виде:

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим это обратно в исходную функцию:

$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

График функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая по оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{4}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в 2 раза.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ влево.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2}(\sin x + \cos x)$ является графиком функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $-\frac{\pi}{4}$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{4}$ относительно графика $y=2\sin x$).

б) Для функции $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Найдем амплитуду: $A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Преобразуем функцию:

$y = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\right)$.

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = 2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

График функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая по оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{6}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в 2 раза.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$ влево.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ является графиком функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $-\frac{\pi}{6}$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{6}$ относительно графика $y=2\sin x$).

в) Для функции $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$ коэффициенты $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$.

Найдем амплитуду: $A = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Преобразуем функцию:

$y = 2\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$.

Используем формулу синуса разности $\sin(x-\phi) = \sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi$. Поскольку $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = 2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

График функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая по оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{3}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в 2 раза.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Ответ: График функции $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$ является графиком функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $\frac{\pi}{3}$ (сдвиг вправо на $\frac{\pi}{3}$ относительно графика $y=2\sin x$).

г) Для функции $y = \sin x - \cos x$ коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

Найдем амплитуду: $A = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Преобразуем функцию:

$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:

$y = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

График функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ — это синусоида с амплитудой $\sqrt{2}$, сдвинутая по оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{4}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в $\sqrt{2}$ раз.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

Ответ: График функции $y = \sin x - \cos x$ является графиком функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Это синусоида с амплитудой $\sqrt{2}$, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $\frac{\pi}{4}$ (сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$ относительно графика $y=\sqrt{2}\sin x$).

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

30.10. a) $y = \cos x - 2 \sin x - 1$;

30.10. б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x - 17|$;

30.10. в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} - 5$;

30.10. г) $y = |7 \sin 2x - 24 \cos 2x| + 15$.

а) $y = \cos x - 2 \sin x - 1$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции воспользуемся свойством выражения вида $a \sin t + b \cos t$. Область значений такого выражения есть отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Рассмотрим часть функции: $f(x) = \cos x - 2 \sin x$. В данном случае это выражение вида $b \cos x + a \sin x$ с коэффициентами $a=-2$ и $b=1$.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:$R = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Следовательно, область значений для выражения $\cos x - 2 \sin x$ есть отрезок $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Теперь найдем область значений для исходной функции $y = (\cos x - 2 \sin x) - 1$. Для этого нужно из границ найденного отрезка вычесть 1.

Наименьшее значение функции достигается, когда $\cos x - 2 \sin x = -\sqrt{5}$:$y_{наим} = -\sqrt{5} - 1$.

Наибольшее значение функции достигается, когда $\cos x - 2 \sin x = \sqrt{5}$:$y_{наиб} = \sqrt{5} - 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\sqrt{5} - 1$, наибольшее значение равно $\sqrt{5} - 1$.

б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x - 17|$

Сначала найдем область значений выражения, стоящего под знаком модуля: $g(x) = 5 \sin x + 12 \cos x - 17$.

Рассмотрим часть выражения $5 \sin x + 12 \cos x$. Здесь $a=5$, $b=12$.

Амплитуда $R$ равна $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Таким образом, область значений для $5 \sin x + 12 \cos x$ есть отрезок $[-13, 13]$.

Теперь найдем область значений для $g(x) = (5 \sin x + 12 \cos x) - 17$.

Наименьшее значение $g(x)$ равно $-13 - 17 = -30$.

Наибольшее значение $g(x)$ равно $13 - 17 = -4$.

Итак, область значений $g(x)$ есть отрезок $[-30, -4]$.

Далее, найдем область значений функции $y = |g(x)|$. Поскольку все значения $g(x)$ отрицательны (от $-30$ до $-4$), то при взятии модуля $|g(x)|$ значения будут находиться в диапазоне от $|-4|$ до $|-30|$.

Наименьшее значение $y$ равно $|-4| = 4$.

Наибольшее значение $y$ равно $|-30| = 30$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $4$, наибольшее значение равно $30$.

в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} - 5$

Рассмотрим выражение $f(x) = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}$. Обозначим $t = \frac{x}{2}$. Выражение примет вид $4 \sin t + 3 \cos t$.

Это выражение вида $a \sin t + b \cos t$, где $a=4, b=3$.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:$R = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Следовательно, область значений для выражения $3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}$ есть отрезок $[-5, 5]$.

Теперь найдем область значений для исходной функции $y = (3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}) - 5$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -5 - 5 = -10$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 5 - 5 = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-10$, наибольшее значение равно $0$.

г) $y = |7 \sin 2x - 24 \cos 2x| + 15$

Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля: $g(x) = 7 \sin 2x - 24 \cos 2x$.

Это выражение вида $a \sin t + b \cos t$ (где $t=2x$), с коэффициентами $a=7$ и $b=-24$.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:$R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$.

Область значений для $g(x)$ есть отрезок $[-25, 25]$.

Теперь рассмотрим $h(x) = |g(x)| = |7 \sin 2x - 24 \cos 2x|$.

Поскольку $g(x)$ принимает все значения от $-25$ до $25$, включая $0$, то $|g(x)|$ будет принимать значения от $0$ (когда $g(x)=0$) до $25$ (когда $g(x)=\pm 25$). Область значений $h(x)$ есть отрезок $[0, 25]$.

Наконец, найдем область значений для исходной функции $y = h(x) + 15$. Для этого к границам отрезка $[0, 25]$ нужно прибавить 15.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = 0 + 15 = 15$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 25 + 15 = 40$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $15$, наибольшее значение равно $40$.

30.11. a) $y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right);$

б) $y = \cos 2x + \sin 2x - \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right).$

а)

Дано выражение: $y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$.

Для упрощения этого выражения мы используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к члену $2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$.

Сначала раскроем косинус разности:

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos\frac{\pi}{6} \cos x + \sin\frac{\pi}{6} \sin x$.

Мы знаем значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения:

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right)$.

Раскроем скобки, умножив $2\sqrt{3}$ на каждый член внутри:

$y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + \left(2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos x + \left(2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\right) \sin x$.

$y = \cos x - \sqrt{3} \sin x + 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y = (\cos x + 3 \cos x) + (-\sqrt{3} \sin x + \sqrt{3} \sin x)$.

$y = 4 \cos x + 0$.

$y = 4 \cos x$.

Ответ: $y = 4 \cos x$.

б)

Дано выражение: $y = \cos 2x + \sin 2x - \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Сначала преобразуем сумму $\cos 2x + \sin 2x$ методом введения вспомогательного угла. Используем формулу $a\cos\alpha + b\sin\alpha = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\alpha-\phi)$, где $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Для $\cos 2x + \sin 2x$ имеем $a=1, b=1$. Тогда множитель $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x\right)$.

Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, выражение в скобках можно свернуть по формуле косинуса разности:

$\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} \cos 2x + \sin\frac{\pi}{4} \sin 2x\right) = \sqrt{2} \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Используя свойство четности функции косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, перепишем результат:

$\sqrt{2} \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Подставим это преобразование в исходное уравнение:

$y = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) - \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Обозначим $u = \frac{\pi}{4} - 2x$. Тогда уравнение примет вид $y = \sqrt{2} \cos u - \sqrt{7} \sin u$.

Снова применим метод вспомогательного угла. Здесь коэффициенты $a=\sqrt{2}$ и $b=-\sqrt{7}$.

Новый амплитудный множитель равен $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{7})^2} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$.

Вынесем 3 за скобки:

$y = 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{3} \cos u - \frac{\sqrt{7}}{3} \sin u\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\sin\phi = \frac{\sqrt{7}}{3}$. (Такой угол существует, поскольку $\cos^2\phi + \sin^2\phi = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{7}{9} = 1$).

Тогда выражение в скобках становится $\cos\phi \cos u - \sin\phi \sin u$, что соответствует формуле косинуса суммы $\cos(u+\phi)$.

Таким образом, $y = 3 \cos(u+\phi)$.

Возвращаясь к переменной $x$, подставляем $u = \frac{\pi}{4} - 2x$:

$y = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x + \phi\right)$, где $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Ответ: $y = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x + \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

30.12. При каком значении параметра $a$ наибольшее значение заданной функции равно числу $M$:

a) $y = 6 \sin 1.5x - 8 \cos 1.5x + a, M = 17;$

б) $y = 7 \sin 0.3x + 24 \cos 0.3x + a, M = -17?$

а) Данная функция имеет вид $y = A \sin(kx) + B \cos(kx) + a$. Чтобы найти ее наибольшее значение, воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение $A \sin(\alpha) + B \cos(\alpha)$ можно представить в виде $R \sin(\alpha + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$. Наибольшее значение такого выражения равно $R$, а наименьшее равно $-R$.

Для функции $y = 6 \sin 1,5x - 8 \cos 1,5x + a$ имеем $A=6$ и $B=-8$. Найдем амплитуду $R$ для части $6 \sin 1,5x - 8 \cos 1,5x$:$R = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Следовательно, наибольшее значение выражения $6 \sin 1,5x - 8 \cos 1,5x$ равно $10$.Тогда наибольшее значение всей функции $y$ равно $10 + a$. По условию, это значение равно $M=17$.Составим и решим уравнение:$10 + a = 17$$a = 17 - 10$$a = 7$.
Ответ: $a=7$.

б) Аналогично решим для функции $y = 7 \sin 0,3x + 24 \cos 0,3x + a$.Здесь коэффициенты $A=7$ и $B=24$. Найдем амплитуду $R$ для части $7 \sin 0,3x + 24 \cos 0,3x$:$R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

Наибольшее значение выражения $7 \sin 0,3x + 24 \cos 0,3x$ равно $25$.Следовательно, наибольшее значение всей функции $y$ равно $25 + a$. По условию, это значение равно $M=-17$.Составим и решим уравнение:$25 + a = -17$$a = -17 - 25$$a = -42$.
Ответ: $a=-42$.

30.13. При каком значении параметра $a$ наименьшее значение заданной функции равно числу $m$:

a) $y = -9 \sin 1,4x - 12 \cos 1,4x + a, m = 1$;

б) $y = 3,5 \sin 0,2x - 12 \cos 0,2x + a, m = -1?$

Для нахождения наименьшего значения функции вида $y = A \sin(kx) + B \cos(kx) + a$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение $A \sin(kx) + B \cos(kx)$ можно преобразовать к виду $R \sin(kx + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.

Область значений функции синус - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $R \sin(kx + \phi)$ - это отрезок $[-R, R]$. Таким образом, наименьшее значение выражения $A \sin(kx) + B \cos(kx)$ равно $-R = -\sqrt{A^2 + B^2}$.

Наименьшее значение всей функции $y$ определяется как сумма наименьшего значения тригонометрической части и константы $a$:$y_{min} = -\sqrt{A^2 + B^2} + a$.По условию задачи, $y_{min} = m$. Отсюда мы можем найти параметр $a$:$a = m + \sqrt{A^2 + B^2}$.

а) Дана функция $y = -9 \sin 1,4x - 12 \cos 1,4x + a$ и $m = 1$.В данном случае коэффициенты $A = -9$ и $B = -12$.Найдем амплитуду $R$:$R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.Наименьшее значение функции $y$ равно:$y_{min} = -R + a = -15 + a$.По условию, наименьшее значение функции должно быть равно $m = 1$:$-15 + a = 1$.Решая это уравнение относительно $a$, получаем:$a = 1 + 15 = 16$.Ответ: $a=16$.

б) Дана функция $y = 3,5 \sin 0,2x - 12 \cos 0,2x + a$ и $m = -1$.В данном случае коэффициенты $A = 3,5$ и $B = -12$.Найдем амплитуду $R$:$R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(3,5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{12,25 + 144} = \sqrt{156,25} = 12,5$.Наименьшее значение функции $y$ равно:$y_{min} = -R + a = -12,5 + a$.По условию, наименьшее значение функции должно быть равно $m = -1$:$-12,5 + a = -1$.Решая это уравнение относительно $a$, получаем:$a = -1 + 12,5 = 11,5$.Ответ: $a=11,5$.

30.14. При каком значении параметра a наибольшее значение функции $y = f(x)$ равно наименьшему значению функции $y = g(x)$:

a) $f(x) = 7 \sin 5x - 24 \cos 5x + a - 1, g(x) = 3 - 2 \cos 4x;$

б) $f(x) = 9 \sin (x - 2) + 12 \cos (x - 2) - 5 - a,$

$g(x) = 2 + 7 \sin (2x + 1)?$

а)

Для решения задачи необходимо найти наибольшее значение функции $f(x)$ и наименьшее значение функции $g(x)$, а затем приравнять их.

Найдем наибольшее значение функции $f(x) = 7 \sin 5x - 24 \cos 5x + a - 1$. Воспользуемся методом введения вспомогательного угла для преобразования выражения $A \sin \alpha + B \cos \alpha$ в $R \sin(\alpha + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$. Для части функции $7 \sin 5x - 24 \cos 5x$ имеем $A=7$ и $B=-24$. Амплитуда $R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. Это означает, что выражение $7 \sin 5x - 24 \cos 5x$ принимает значения в диапазоне $[-25, 25]$. Наибольшее значение этой части функции равно $25$. Таким образом, наибольшее значение всей функции $f(x)$ равно: $\max(f(x)) = 25 + a - 1 = 24 + a$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $g(x) = 3 - 2 \cos 4x$. Область значений функции косинуса $\cos 4x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Чтобы найти наименьшее значение $g(x)$, нужно из $3$ вычесть наибольшее возможное значение выражения $2 \cos 4x$. Наибольшее значение $2 \cos 4x$ равно $2 \cdot 1 = 2$ (когда $\cos 4x = 1$). Следовательно, наименьшее значение функции $g(x)$ равно: $\min(g(x)) = 3 - 2 = 1$.

Согласно условию, $\max(f(x)) = \min(g(x))$. Составим и решим уравнение: $24 + a = 1$ $a = 1 - 24$ $a = -23$

Ответ: $a = -23$.

б)

Действуем аналогично пункту а).

Найдем наибольшее значение функции $f(x) = 9 \sin(x - 2) + 12 \cos(x - 2) - 5 - a$. Рассмотрим часть функции $9 \sin(x - 2) + 12 \cos(x - 2)$. Амплитуда этого выражения равна $R = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. Диапазон значений выражения $9 \sin(x - 2) + 12 \cos(x - 2)$ — это отрезок $[-15, 15]$. Наибольшее значение этой части равно $15$. Следовательно, наибольшее значение всей функции $f(x)$ составляет: $\max(f(x)) = 15 - 5 - a = 10 - a$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $g(x) = 2 + 7 \sin(2x + 1)$. Область значений функции синуса $\sin(2x + 1)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наименьшее значение $g(x)$ достигается, когда $\sin(2x+1)$ принимает свое наименьшее значение, то есть $-1$. Наименьшее значение функции $g(x)$ равно: $\min(g(x)) = 2 + 7 \cdot (-1) = 2 - 7 = -5$.

Приравняем полученные значения согласно условию задачи: $\max(f(x)) = \min(g(x))$ $10 - a = -5$ $a = 10 + 5$ $a = 15$

Ответ: $a = 15$.

30.15. Решите уравнение:

a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1;$

б) $\sin x + \cos x = \sqrt{2};$

в) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3};$

г) $\sin x - \cos x = 1.$

Все представленные уравнения относятся к типу $a \sin x + b \cos x = c$ и решаются методом введения вспомогательного угла.

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$

В данном уравнении коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$. Найдем значение выражения $\sqrt{a^2 + b^2}$: $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение: $\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = \frac{1}{2}$.

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Решения