Страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.35. Найдите все значения x, при которых числа $a$, $b$, $c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, если:

а) $a = \cos 7x, b = \cos 2x, c = \cos 11x$;

б) $a = \sin 3x, b = \cos x, c = \sin 5x$.

а)

Для того чтобы три числа $a$, $b$, $c$ в указанном порядке являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних, то есть $b^2 = ac$.

Подставим данные значения $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$, $c = \cos 11x$ в это равенство:

$\cos^2(2x) = \cos(7x) \cdot \cos(11x)$

Преобразуем обе части этого уравнения с помощью тригонометрических формул. Левую часть преобразуем по формуле понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. Правую часть — по формуле преобразования произведения косинусов в сумму $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$.

$\frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(11x + 7x) + \cos(11x - 7x))$

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(18x) + \cos(4x))$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(4x) = \cos(18x) + \cos(4x)$

Вычтем $\cos(4x)$ из обеих частей уравнения:

$1 = \cos(18x)$

Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:

$18x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Разделим на 18, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi k}{18} = \frac{\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Аналогично пункту а), используем условие $b^2 = ac$. Подставим в него заданные выражения $a = \sin 3x$, $b = \cos x$, $c = \sin 5x$:

$\cos^2(x) = \sin(3x) \cdot \sin(5x)$

Для преобразования этого уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Левую часть преобразуем по формуле понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. Правую часть — по формуле преобразования произведения синусов в сумму $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(5x - 3x) - \cos(5x + 3x))$

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(8x))$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(2x) = \cos(2x) - \cos(8x)$

Вычтем $\cos(2x)$ из обеих частей:

$1 = -\cos(8x)$

Отсюда получаем $\cos(8x) = -1$.

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$8x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 8, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{8} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

28.36. Решите неравенство:

а) $ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1; $

б) $ \cos \left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)>-\frac{1}{2}. $

28.37. Постройте графики функции:

а) $sin(x + \frac{\pi}{4}) + sin(x - \frac{\pi}{4}) < 1$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой суммы синусов:

$sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{2x}{2} = x$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{2\pi/4}{2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставим эти значения в формулу, и неравенство примет вид:

$2 sin(x) cos(\frac{\pi}{4}) < 1$

Зная, что $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$2 sin(x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$

$\sqrt{2} sin(x) < 1$

$sin(x) < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности значения синуса (ординаты) меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют дуге, начинающейся в точке, соответствующей углу $\frac{3\pi}{4}$, и заканчивающейся в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{4}$ следующего оборота, то есть $2\pi+\frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$.

Таким образом, решение неравенства с учетом периодичности:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это решение можно также записать в виде, вычтя $2\pi$ из обеих границ:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(2x + \frac{\pi}{3}) + cos(2x - \frac{\pi}{3}) > -\frac{1}{2}$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой суммы косинусов:

$cos(\alpha) + cos(\beta) = 2 cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 2x + \frac{\pi}{3}$ и $\beta = 2x - \frac{\pi}{3}$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(2x + \frac{\pi}{3}) + (2x - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(2x + \frac{\pi}{3}) - (2x - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$

Подставим эти значения в формулу, и неравенство примет вид:

$2 cos(2x) cos(\frac{\pi}{3}) > -\frac{1}{2}$

Зная, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 cos(2x) \cdot \frac{1}{2} > -\frac{1}{2}$

$cos(2x) > -\frac{1}{2}$

Решим это неравенство. Сделаем замену $t = 2x$, тогда $cos(t) > -\frac{1}{2}$.

Корнями уравнения $cos(t) = -\frac{1}{2}$ являются $t = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности значения косинуса (абсциссы) больше $-\frac{1}{2}$ соответствуют дуге, расположенной между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

28.37. Постройте график функции:

a) $y = 1,5 \left( \cos \frac{9x + 10\pi}{6} + \cos \frac{9x - 10\pi}{6} \right);$

б) $y = 2 \left( \sin \frac{9x + 2\pi}{3} + \sin \frac{9x - 2\pi}{3} \right).$

а) Для построения графика функции $y = 1,5\left(\cos\frac{9x + 10\pi}{6} + \cos\frac{9x - 10\pi}{6}\right)$ необходимо сначала упростить выражение. Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае пусть $\alpha = \frac{9x + 10\pi}{6}$ и $\beta = \frac{9x - 10\pi}{6}$. Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 10\pi}{6} + \frac{9x - 10\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{18x}{6}\right) = \frac{3x}{2}$.
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 10\pi}{6} - \frac{9x - 10\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{20\pi}{6}\right) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходную функцию: $y = 1,5 \cdot \left(2 \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right)$.
Зная, что $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = 1,5 \cdot \left(2 \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) = 1,5 \cos\left(\frac{3x}{2}\right)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = 1,5 \cos(1,5x)$. Это график косинуса со следующими характеристиками:

• Амплитуда $A = 1,5$. Это означает, что все значения функции находятся в диапазоне $[-1,5; 1,5]$.
• Период $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$.
• Горизонтального и вертикального сдвигов нет.

Для построения графика можно выполнить следующие преобразования над графиком $y = \cos x$:
1. Сжать график по оси $Ox$ в 1,5 раза. Период функции уменьшится с $2\pi$ до $\frac{4\pi}{3}$.
2. Растянуть график по оси $Oy$ в 1,5 раза. Амплитуда увеличится с 1 до 1,5.

Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{4\pi}{3}]$:

• Максимум в $x=0$, $y=1,5$.
• Пересечение с осью $Ox$ (нуль функции) в $x=\frac{\pi}{3}$, $y=0$.
• Минимум в $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=-1,5$.
• Пересечение с осью $Ox$ (нуль функции) в $x=\pi$, $y=0$.
• Максимум в $x=\frac{4\pi}{3}$, $y=1,5$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = 1,5 \cos(1,5x)$ с амплитудой 1,5 и периодом $\frac{4\pi}{3}$.

б) Для построения графика функции $y = 2\left(\sin\frac{9x + 2\pi}{3} + \sin\frac{9x - 2\pi}{3}\right)$ также сначала упростим выражение. Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае пусть $\alpha = \frac{9x + 2\pi}{3}$ и $\beta = \frac{9x - 2\pi}{3}$. Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 2\pi}{3} + \frac{9x - 2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{18x}{3}\right) = 3x$.
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 2\pi}{3} - \frac{9x - 2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим полученные значения в исходную функцию: $y = 2 \cdot \left(2 \sin(3x) \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.
Зная, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$y = 2 \cdot \left(2 \sin(3x) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 2(-\sin(3x)) = -2 \sin(3x)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = -2 \sin(3x)$. Это график синуса со следующими характеристиками:

• Амплитуда $A = |-2| = 2$. Все значения функции находятся в диапазоне $[-2; 2]$.
• Период $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.
• Знак "минус" перед функцией означает отражение графика относительно оси $Ox$.
• Горизонтального и вертикального сдвигов нет.

Для построения графика можно выполнить следующие преобразования над графиком $y = \sin x$:
1. Сжать график по оси $Ox$ в 3 раза. Период функции уменьшится с $2\pi$ до $\frac{2\pi}{3}$.
2. Растянуть график по оси $Oy$ в 2 раза. Амплитуда увеличится с 1 до 2.
3. Отразить полученный график относительно оси $Ox$.

Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{2\pi}{3}]$:

• Пересечение с осью $Ox$ в $x=0$, $y=0$.
• Минимум в $x=\frac{\pi}{6}$, $y=-2$.
• Пересечение с осью $Ox$ в $x=\frac{\pi}{3}$, $y=0$.
• Максимум в $x=\frac{\pi}{2}$, $y=2$.
• Пересечение с осью $Ox$ в $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = -2 \sin(3x)$, отраженную относительно оси абсцисс, с амплитудой 2 и периодом $\frac{2\pi}{3}$.

28.38. Постройте график уравнения:

a) $sin 2x = sin 2y$;

б) $cos 2x = cos 2y$.

а)

Рассмотрим уравнение $\sin 2x = \sin 2y$. Равенство синусов $\sin \alpha = \sin \beta$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий (где $n$ — любое целое число):
1) $\alpha = \beta + 2\pi n$
2) $\alpha = \pi - \beta + 2\pi n$

Применим эти условия к нашему уравнению, где $\alpha = 2x$ и $\beta = 2y$.

Случай 1:
$2x = 2y + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив обе части на 2, получим:
$x = y

Представьте в виде суммы:

29.1. a) $ \sin 23^\circ \sin 32^\circ; $

б) $ \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8}; $

в) $ \sin 14^\circ \cos 16^\circ; $

г) $ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{5}. $

а) Для преобразования произведения синусов в сумму используем формулу произведения синусов: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.
В данном случае $ \alpha = 23^\circ $ и $ \beta = 32^\circ $.
Подставляем значения в формулу: $ \sin 23^\circ \sin 32^\circ = \frac{1}{2}(\cos(23^\circ - 32^\circ) - \cos(23^\circ + 32^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-9^\circ) - \cos(55^\circ)) $.
Так как функция косинуса является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $, мы можем записать $ \cos(-9^\circ) = \cos(9^\circ) $.
В результате получаем: $ \frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ) $

б) Для преобразования произведения косинусов в сумму используем формулу произведения косинусов: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $.
Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $.
Подставляем значения в формулу: $ \cos\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8}\right)\right) $.
Найдем сумму и разность углов, приведя дроби к общему знаменателю 24: $ \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi - 3\pi}{24} = -\frac{\pi}{24} $
$ \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi + 3\pi}{24} = \frac{5\pi}{24} $
Подставляем обратно в выражение: $ \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right) $.
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{5\pi}{24}\right) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{5\pi}{24}\right) $

в) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используем формулу: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.
В этом примере $ \alpha = 14^\circ $ и $ \beta = 16^\circ $.
Подставляем значения: $ \sin 14^\circ \cos 16^\circ = \frac{1}{2}(\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ - 16^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 30^\circ + \sin(-2^\circ)) $.
Так как функция синуса является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $, то $ \sin(-2^\circ) = -\sin 2^\circ $.
Выражение принимает вид: $ \frac{1}{2}(\sin 30^\circ - \sin 2^\circ) $.
Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, можно упростить выражение: $ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \sin 2^\circ\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin 2^\circ $.
Ответ: $ \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin 2^\circ $

г) Данное выражение имеет вид $ 2\sin\alpha\cos\beta $. Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ 2\sin\alpha \cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $.
Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{5} $.
Подставляем значения в формулу: $ 2\sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{5} = \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{5}\right) $.
Найдем сумму и разность углов, приведя дроби к общему знаменателю 40: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi + 8\pi}{40} = \frac{13\pi}{40} $
$ \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi - 8\pi}{40} = -\frac{3\pi}{40} $
Подставляем полученные значения: $ \sin\left(\frac{13\pi}{40}\right) + \sin\left(-\frac{3\pi}{40}\right) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем: $ \sin\frac{13\pi}{40} - \sin\frac{3\pi}{40} $.
Ответ: $ \sin\frac{13\pi}{40} - \sin\frac{3\pi}{40} $

29.2. a) $\sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta);$

Б) $\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta);$

В) $\cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\right);$

Г) $2 \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta).$

а) Для преобразования выражения $ \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) $ раскроем скобки, используя формулы синуса суммы и разности двух углов:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
Перемножим эти два выражения. Произведение представляет собой формулу разности квадратов $ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $, где $ A = \sin\alpha \cos\beta $ и $ B = \cos\alpha \sin\beta $.
$ \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha \cos\beta)^2 - (\cos\alpha \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta $
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $, чтобы выразить результат только через синусы:
$ \sin^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha) \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha \sin^2\beta $
После сокращения подобных слагаемых $ -\sin^2\alpha \sin^2\beta $ и $ +\sin^2\alpha \sin^2\beta $ получаем окончательный результат:
$ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $
Ответ: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $

б) Для преобразования выражения $ \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности двух углов:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $
Перемножим эти выражения, используя формулу разности квадратов $ (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 $, где $ A = \cos\alpha \cos\beta $ и $ B = \sin\alpha \sin\beta $.
$ \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta)^2 - (\sin\alpha \sin\beta)^2 = \cos^2\alpha \cos^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta $
Используем основное тригонометрическое тождество для упрощения. Заменим $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $:
$ \cos^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - \sin^2\alpha \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta $
Вынесем $ -\sin^2\beta $ за скобки:
$ \cos^2\alpha - \sin^2\beta (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $
Так как $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, получаем:
$ \cos^2\alpha - \sin^2\beta $
Ответ: $ \cos^2\alpha - \sin^2\beta $

в) Для преобразования произведения $ \cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) $ в сумму используем формулу произведения косинусов:
$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] $
В данном случае $ x = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} $ и $ y = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} $.
Найдем сумму и разность аргументов $ x $ и $ y $:
$ x+y = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) + (\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $
$ x-y = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) - (\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{2\beta}{2} = \beta $
Подставим полученные значения обратно в формулу:
$ \cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos\beta) $
Ответ: $ \frac{\cos\alpha + \cos\beta}{2} $

г) Для преобразования выражения $ 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $ используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:
$ 2 \sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y) $
В данном случае $ x = \alpha + \beta $ и $ y = \alpha - \beta $.
Найдем сумму и разность аргументов $ x $ и $ y $:
$ x+y = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 2\alpha $
$ x-y = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = 2\beta $
Подставим эти значения в формулу:
$ 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) $
Ответ: $ \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) $

29.3. а) $ \cos \alpha \sin (\alpha + \beta) $;

б) $ \sin (60^{\circ} + \alpha) \sin (60^{\circ} - \alpha) $;

в) $ \sin \beta \cos (\alpha + \beta) $;

г) $ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

а) Для преобразования произведения $ \cos \alpha \sin (\alpha + \beta) $ в сумму, представим его как $ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha $ и воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin X \cos Y = \frac{1}{2}(\sin(X+Y) + \sin(X-Y)) $. Полагая $ X = \alpha + \beta $ и $ Y = \alpha $, получаем: $ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha = \frac{1}{2}(\sin((\alpha + \beta) + \alpha) + \sin((\alpha + \beta) - \alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta) $.

б) Для преобразования произведения $ \sin (60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ - \alpha) $ в сумму воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin X \sin Y = \frac{1}{2}(\cos(X-Y) - \cos(X+Y)) $. Пусть $ X = 60^\circ + \alpha $ и $ Y = 60^\circ - \alpha $. Тогда $ X - Y = (60^\circ + \alpha) - (60^\circ - \alpha) = 2\alpha $, а $ X + Y = (60^\circ + \alpha) + (60^\circ - \alpha) = 120^\circ $. Подставляя в формулу, получаем: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(120^\circ)) $. Так как $ \cos(120^\circ) = -0.5 $, выражение становится равным: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - (-0.5)) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + 0.5) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4} $.

в) Для преобразования произведения $ \sin \beta \cos (\alpha + \beta) $ в сумму воспользуемся формулой: $ \sin X \cos Y = \frac{1}{2}(\sin(X+Y) + \sin(X-Y)) $. Пусть $ X = \beta $ и $ Y = \alpha + \beta $. Тогда $ X + Y = \beta + (\alpha + \beta) = \alpha + 2\beta $, а $ X - Y = \beta - (\alpha + \beta) = -\alpha $. Подставляя в формулу, получаем: $ \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) + \sin(-\alpha)) $. Так как $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $, то получаем: $ \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha) $.

г) Для преобразования произведения $ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $ в сумму воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos X \cos Y = \frac{1}{2}(\cos(X+Y) + \cos(X-Y)) $. Пусть $ X = \alpha + \frac{\pi}{4} $ и $ Y = \alpha - \frac{\pi}{4} $. Тогда $ X + Y = (\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\alpha - \frac{\pi}{4}) = 2\alpha $, а $ X - Y = (\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} $. Подставляя в формулу, получаем: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})) $. Так как $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, выражение становится равным: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + 0) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\cos(2\alpha) $.

29.4. a) $ \sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ $;

б) $ 4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ $.

а) Для преобразования произведения $ \sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ $ в сумму необходимо последовательно применить формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Сначала преобразуем произведение первых двух множителей, используя формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

$ \sin 10^\circ \cos 8^\circ = \frac{1}{2}(\sin(10^\circ+8^\circ) + \sin(10^\circ-8^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 18^\circ + \sin 2^\circ) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и раскроем скобки:

$ \frac{1}{2}(\sin 18^\circ + \sin 2^\circ) \cos 6^\circ = \frac{1}{2}\sin 18^\circ \cos 6^\circ + \frac{1}{2}\sin 2^\circ \cos 6^\circ $

Снова применим формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $ к каждому из полученных слагаемых:

$ \frac{1}{2}\sin 18^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(18^\circ+6^\circ) + \sin(18^\circ-6^\circ)) = \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ) $

$ \frac{1}{2}\sin 2^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(2^\circ+6^\circ) + \sin(2^\circ-6^\circ)) = \frac{1}{4}(\sin 8^\circ + \sin(-4^\circ)) = \frac{1}{4}(\sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $

Сложив результаты, получаем окончательное выражение:

$ \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ) + \frac{1}{4}(\sin 8^\circ - \sin 4^\circ) = \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $

Ответ: $ \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $.

б) Для преобразования выражения $ 4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ $ в сумму, представим его в виде $ 2 \cdot (2 \sin 25^\circ \cos 15^\circ) \cdot \sin 5^\circ $ и применим формулы преобразования произведения в сумму.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя формулу $ 2\sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $:

$ 2 \sin 25^\circ \cos 15^\circ = \sin(25^\circ+15^\circ) + \sin(25^\circ-15^\circ) = \sin 40^\circ + \sin 10^\circ $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ 2(\sin 40^\circ + \sin 10^\circ) \sin 5^\circ = 2 \sin 40^\circ \sin 5^\circ + 2 \sin 10^\circ \sin 5^\circ $

Теперь к каждому слагаемому применим формулу произведения синусов $ 2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $:

$ 2 \sin 40^\circ \sin 5^\circ = \cos(40^\circ-5^\circ) - \cos(40^\circ+5^\circ) = \cos 35^\circ - \cos 45^\circ $

$ 2 \sin 10^\circ \sin 5^\circ = \cos(10^\circ-5^\circ) - \cos(10^\circ+5^\circ) = \cos 5^\circ - \cos 15^\circ $

Сложим полученные выражения:

$ (\cos 35^\circ - \cos 45^\circ) + (\cos 5^\circ - \cos 15^\circ) = \cos 5^\circ + \cos 35^\circ - \cos 15^\circ - \cos 45^\circ $

Зная, что $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем окончательный вид выражения:

$ \cos 5^\circ + \cos 35^\circ - \cos 15^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \cos 5^\circ + \cos 35^\circ - \cos 15^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

29.5. a) $\sin x \sin y \sin z;$

б) $\cos x \cos y \cos z.$

а)

Задача состоит в преобразовании произведения трех синусов в сумму. Для этого мы последовательно применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Основная формула, которую мы будем использовать, это формула произведения синусов:
$ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

1. Сначала применим эту формулу к первым двум множителям $ \sin x \sin y $:
$ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

2. Теперь исходное выражение можно записать как:
$ (\sin x \sin y) \sin z = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) \sin z $.
Раскроем скобки:
$ \frac{1}{2}\cos(x-y)\sin z - \frac{1}{2}\cos(x+y)\sin z $.

3. К каждому из полученных слагаемых применим формулу произведения косинуса на синус:
$ \cos A \sin B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) - \sin(A-B)) $.

Для первого слагаемого $ \frac{1}{2}\cos(x-y)\sin z $:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) \right] = \frac{1}{4}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) $.

Для второго слагаемого $ -\frac{1}{2}\cos(x+y)\sin z $:
$ -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\sin(x+y+z) - \sin(x+y-z)) \right] = -\frac{1}{4}(\sin(x+y+z) - \sin(x+y-z)) $.

4. Сложим полученные результаты:
$ \frac{1}{4}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) - \frac{1}{4}(\sin(x+y+z) - \sin(x+y-z)) $
$ = \frac{1}{4}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z) - \sin(x+y+z) + \sin(x+y-z)) $.

Перегруппировав слагаемые, получим окончательный вид:
$ \frac{1}{4}(-\sin(x+y+z) + \sin(x+y-z) + \sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}(-\sin(x+y+z) + \sin(x+y-z) + \sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) $.

б)

Задача состоит в преобразовании произведения трех косинусов в сумму. Мы будем использовать аналогичный подход, что и в пункте а).

Основная формула здесь — это формула произведения косинусов:
$ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $.

1. Применим эту формулу к первым двум множителям $ \cos x \cos y $:
$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.

2. Теперь исходное выражение можно записать как:
$ (\cos x \cos y) \cos z = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) \cos z $.
Раскроем скобки:
$ \frac{1}{2}\cos(x-y)\cos z + \frac{1}{2}\cos(x+y)\cos z $.

3. К каждому из полученных слагаемых снова применим формулу произведения косинусов.

Для первого слагаемого $ \frac{1}{2}\cos(x-y)\cos z $:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z)) \right] = \frac{1}{4}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z)) $.

Для второго слагаемого $ \frac{1}{2}\cos(x+y)\cos z $:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) \right] = \frac{1}{4}(\cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) $.

4. Сложим полученные результаты:
$ \frac{1}{4}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z)) + \frac{1}{4}(\cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) $
$ = \frac{1}{4}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z) + \cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) $.

Перегруппировав слагаемые, получим окончательный вид:
$ \frac{1}{4}(\cos(x+y+z) + \cos(x+y-z) + \cos(x-y+z) + \cos(x-y-z)) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}(\cos(x+y+z) + \cos(x+y-z) + \cos(x-y+z) + \cos(x-y-z)) $.

29.6. a) $ \sin^2 x \cos 4x; $

б) $ \cos^2 2x \sin 3x. $

а) Для преобразования выражения $\sin^2 x \cos 4x$ (произведения в сумму) необходимо использовать тригонометрические формулы.
Сначала применим формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
Подставим это в исходное выражение:
$\sin^2 x \cos 4x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 2x \cos 4x)$
Теперь преобразуем произведение косинусов $\cos 2x \cos 4x$ в сумму, используя формулу: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
$\cos 2x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(4x - 2x) + \cos(4x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 6x)$
Подставим результат обратно:
$\frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 2x \cos 4x) = \frac{1}{2}\left(\cos 4x - \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 6x)\right)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{1}{2}\cos 4x - \frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 6x = \frac{1}{4}(2\cos 4x - \cos 2x - \cos 6x)$
Ответ: $\frac{1}{4}(2\cos 4x - \cos 2x - \cos 6x)$.

б) Для преобразования выражения $\cos^2 2x \sin 3x$ в сумму, сначала используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
Применим ее к $\cos^2 2x$:
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 + \cos 4x}{2}$
Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2 2x \sin 3x = \left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right) \sin 3x = \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin 3x \cos 4x)$
Теперь преобразуем произведение синуса и косинуса $\sin 3x \cos 4x$ в сумму, используя формулу: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
$\sin 3x \cos 4x = \frac{1}{2}(\sin(3x + 4x) + \sin(3x - 4x)) = \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin(-x))$
Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:
$\frac{1}{2}(\sin 7x - \sin x)$
Подставим результат обратно:
$\frac{1}{2}(\sin 3x + \sin 3x \cos 4x) = \frac{1}{2}\left(\sin 3x + \frac{1}{2}(\sin 7x - \sin x)\right)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{4}\sin 7x - \frac{1}{4}\sin x = \frac{1}{4}(2\sin 3x + \sin 7x - \sin x)$
Ответ: $\frac{1}{4}(2\sin 3x - \sin x + \sin 7x)$.