Страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.43. a) Известно, что $tg x = \frac{1}{7}$, $sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$.

Докажите, что $x + 2y = \frac{\pi}{4}$.

б) Известно, что $sin x = \frac{7}{25}$, $cos y = \frac{7}{25}$, $cos z = \frac{3}{5}$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$,

$0 < y < \frac{\pi}{2}$, $0 < z < \frac{\pi}{2}$. Докажите, что $x + \frac{y}{2} = z$.

а)

Для доказательства равенства $x + 2y = \frac{\pi}{4}$ найдем значение тангенса левой части и сравним его с тангенсом правой части. Тангенс правой части равен $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Сначала найдем $tg(y)$, а затем $tg(2y)$. Нам известно, что $sin(y) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ и $0 < y < \frac{\pi}{2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$ для нахождения $cos(y)$:

$cos^2(y) = 1 - sin^2(y) = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

Так как $y$ находится в первой четверти ($0 < y < \frac{\pi}{2}$), $cos(y)$ положителен. Следовательно, $cos(y) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Теперь можем найти $tg(y)$:

$tg(y) = \frac{sin(y)}{cos(y)} = \frac{\sqrt{10}/10}{3\sqrt{10}/10} = \frac{1}{3}$.

Используем формулу тангенса двойного угла $tg(2y) = \frac{2tg(y)}{1 - tg^2(y)}$:

$tg(2y) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Теперь, используя формулу тангенса суммы $tg(a+b) = \frac{tg(a) + tg(b)}{1 - tg(a)tg(b)}$, найдем $tg(x+2y)$:

$tg(x+2y) = \frac{tg(x) + tg(2y)}{1 - tg(x)tg(2y)} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4+21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1$.

Мы получили, что $tg(x+2y) = 1$. Это означает, что $x+2y = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ — целое число.

Определим, в каком диапазоне находится угол $x+2y$.

По условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$ и $0 < y < \frac{\pi}{2}$.

Так как $tg(x) = \frac{1}{7} < 1 = tg(\frac{\pi}{4})$ и $x$ в первой четверти, то $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Так как $tg(y) = \frac{1}{3} < 1 = tg(\frac{\pi}{4})$ и $y$ в первой четверти, то $0 < y < \frac{\pi}{4}$.

Тогда для $2y$ имеем: $0 < 2y < 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Складывая неравенства для $x$ и $2y$, получаем:

$0 + 0 < x + 2y < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < x+2y < \frac{3\pi}{4}$.

Единственное значение вида $\frac{\pi}{4} + n\pi$, которое попадает в интервал $(0, \frac{3\pi}{4})$, соответствует $n=0$.

Таким образом, $x+2y = \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $x + \frac{y}{2} = z$ найдем значения косинусов левой и правой частей и сравним их. Нам известно значение $cos(z) = \frac{3}{5}$.

Вычислим $cos(x + \frac{y}{2})$ по формуле косинуса суммы: $cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$.

$cos(x + \frac{y}{2}) = cos(x)cos(\frac{y}{2}) - sin(x)sin(\frac{y}{2})$.

Нам даны $sin(x) = \frac{7}{25}$ и $cos(y) = \frac{7}{25}$. Все углы $x, y, z$ находятся в первой четверти ($0 < x, y, z < \frac{\pi}{2}$).

Найдем $cos(x)$:

$cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625-49}{625} = \frac{576}{625}$.

Так как $x$ в первой четверти, $cos(x)$ положителен: $cos(x) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Теперь найдем $cos(\frac{y}{2})$ и $sin(\frac{y}{2})$ с помощью формул половинного угла. Так как $0 < y < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \frac{y}{2} < \frac{\pi}{4}$, значит $cos(\frac{y}{2})$ и $sin(\frac{y}{2})$ положительны.

$cos(\frac{y}{2}) = \sqrt{\frac{1+cos(y)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

$sin(\frac{y}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(y)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{18}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Подставляем найденные значения в формулу для $cos(x + \frac{y}{2})$:

$cos(x + \frac{y}{2}) = \frac{24}{25} \cdot \frac{4}{5} - \frac{7}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{96}{125} - \frac{21}{125} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}$.

Мы получили, что $cos(x + \frac{y}{2}) = \frac{3}{5}$. Также по условию $cos(z) = \frac{3}{5}$.

Таким образом, $cos(x + \frac{y}{2}) = cos(z)$.

Определим, в каких интервалах находятся углы $x + \frac{y}{2}$ и $z$.

По условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$, $0 < z < \frac{\pi}{2}$.

Из $0 < y < \frac{\pi}{2}$ следует, что $0 < \frac{y}{2} < \frac{\pi}{4}$.

Тогда для суммы $x + \frac{y}{2}$ имеем: $0 + 0 < x + \frac{y}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \Rightarrow 0 < x + \frac{y}{2} < \frac{3\pi}{4}$.

Итак, у нас есть два угла, $x + \frac{y}{2}$ и $z$, оба находятся в интервале $(0, \pi)$ (точнее, $x + \frac{y}{2} \in (0, \frac{3\pi}{4})$ и $z \in (0, \frac{\pi}{2})$), и их косинусы равны. На интервале $(0, \pi)$ функция косинуса является взаимно однозначной (инъективной). Следовательно, из равенства косинусов следует равенство самих углов.

$x + \frac{y}{2} = z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

27.44. а) Зная, что $t = 2 \arccos \frac{3}{5}$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$;

б) Зная, что $t = 2 \operatorname{arctg} \left(-\frac{3}{4}\right)$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$;

в) Зная, что $t = 2 \arcsin \left(-\frac{5}{13}\right)$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$;

г) Зная, что $t = 2 \operatorname{arcctg} \frac{12}{5}$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$.

а) Дано $t = 2 \arccos\frac{3}{5}$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in [0, \pi]$. Так как $\frac{3}{5} > 0$, то угол $\alpha$ находится в первой четверти: $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
Для этого угла $\sin\alpha > 0$. Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций для $t = 2\alpha$, используя формулы двойного угла:
$\cos t = \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25}$.
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{7}{24}$.
Ответ: $\sin t = \frac{24}{25}, \cos t = -\frac{7}{25}, \text{tg } t = -\frac{24}{7}, \text{ctg } t = -\frac{7}{24}$.

б) Дано $t = 2 \text{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right)$.
Пусть $\alpha = \text{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right)$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арктангенса, $\text{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ и $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Так как $-\frac{3}{4} < 0$, то угол $\alpha$ находится в четвертой четверти: $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$.
В этой четверти $\cos\alpha > 0$ и $\sin\alpha < 0$.
Из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ найдем $\cos\alpha$:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{25/16} = \frac{16}{25}$.
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
$\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычислим значения для $t = 2\alpha$:
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}$.
$\cos t = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{7}{24}$.
Ответ: $\sin t = -\frac{24}{25}, \cos t = \frac{7}{25}, \text{tg } t = -\frac{24}{7}, \text{ctg } t = -\frac{7}{24}$.

в) Дано $t = 2 \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$.
Пусть $\alpha = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арксинуса, $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Так как $-\frac{5}{13} < 0$, то угол $\alpha$ находится в четвертой четверти: $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$.
В этой четверти $\cos\alpha > 0$. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Теперь вычислим значения для $t = 2\alpha$:
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{120}{169}$.
$\cos t = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{12}{13}\right)^2 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{119}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{119}{120}$.
Ответ: $\sin t = -\frac{120}{169}, \cos t = \frac{119}{169}, \text{tg } t = -\frac{120}{119}, \text{ctg } t = -\frac{119}{120}$.

г) Дано $t = 2 \text{arcctg}\frac{12}{5}$.
Пусть $\alpha = \text{arcctg}\frac{12}{5}$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арккотангенса, $\text{ctg}\alpha = \frac{12}{5}$ и $\alpha \in (0, \pi)$. Так как $\frac{12}{5} > 0$, то угол $\alpha$ находится в первой четверти: $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
В этой четверти $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$.
Из тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ найдем $\sin\alpha$:
$\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{169/25} = \frac{25}{169}$.
$\sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
$\cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Теперь вычислим значения для $t = 2\alpha$:
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.
$\cos t = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{12}{13}\right)^2 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{120/169}{119/169} = \frac{120}{119}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{119}{120}$.
Ответ: $\sin t = \frac{120}{169}, \cos t = \frac{119}{169}, \text{tg } t = \frac{120}{119}, \text{ctg } t = \frac{119}{120}$.

27.45. а) Зная, что $t = \arccos \frac{3}{5}$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

б) зная, что $t = \operatorname{arctg} \left(-\frac{3}{4}\right)$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

в) зная, что $t = \arcsin \left(-\frac{5}{13}\right)$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

г) зная, что $t = \operatorname{arcctg} \frac{12}{5}$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$.

а) Дано $t = \arccos\frac{3}{5}$.

По определению арккосинуса, $\cos t = \frac{3}{5}$ и $t \in [0, \pi]$. Поскольку $\cos t > 0$, угол $t$ находится в первой четверти: $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

Это означает, что угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$. Для таких углов синус, косинус и тангенс неотрицательны.

Используем формулы половинного угла:

$\sin\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{1}{2}$.

б) Дано $t = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right)$.

По определению арктангенса, $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$ и $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Поскольку $\operatorname{tg} t < 0$, угол $t$ находится в четвертой четверти: $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$.

Следовательно, угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$. Для таких углов $\sin\frac{t}{2} < 0$, а $\cos\frac{t}{2} > 0$.

Найдем $\cos t$. Из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ получаем:$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Так как $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $\cos t > 0$, поэтому $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Применяем формулы половинного угла с учетом знаков:

$\sin\frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = -\frac{1}{3}$.

в) Дано $t = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$.

По определению арксинуса, $\sin t = -\frac{5}{13}$ и $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Поскольку $\sin t < 0$, угол $t$ находится в четвертой четверти: $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$.

Следовательно, угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$. Для таких углов $\sin\frac{t}{2} \le 0$, а $\cos\frac{t}{2} > 0$.

Найдем $\cos t$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.

Так как $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$, $\cos t \ge 0$, поэтому $\cos t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Применяем формулы половинного угла с учетом знаков:

$\sin\frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = -\frac{1}{5}$.

г) Дано $t = \operatorname{arcctg}\frac{12}{5}$.

По определению арккотангенса, $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$ и $t \in (0, \pi)$. Поскольку $\operatorname{ctg} t > 0$, угол $t$ находится в первой четверти: $t \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Следовательно, угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$. Для таких углов синус, косинус и тангенс положительны.

Найдем $\cos t$. Из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$ найдем $\sin t$:$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.

Так как $t \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, $\sin t > 0$, поэтому $\sin t = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Теперь найдем $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ (косинус положителен в первой четверти).

Применяем формулы половинного угла:

$\sin\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = \frac{\sqrt{26}}{26}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{1}{5}$.

Решите уравнение:

27.46. a) $\sin 2x - 2 \cos x = 0;$

б) $2 \sin x = \sin 2x;$

в) $\sin 2x - \sin x = 0;$

г) $\sin 2x - \cos x = 0.$

а) Исходное уравнение: $\sin 2x - 2 \cos x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x - 2 \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:
$2 \cos x (\sin x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $2 \cos x = 0 \implies \cos x = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что вторая серия корней ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$) является подмножеством первой серии корней ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$), поскольку все значения из второй серии получаются из первой при четных $k$ (т.е., $k=2n$). Следовательно, общим решением является первая, более общая, серия.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $2 \sin x = \sin 2x$.
Перенесем все члены в одну сторону и применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x - \sin 2x = 0$
$2 \sin x - 2 \sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (1 - \cos x) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$. Решением является $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1$. Решением является $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия корней ($x = 2\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = \pi k$), так как получается из нее при четных значениях $k$ (т.е., $k=2n$). Таким образом, все решения описываются первой, более общей, формулой.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin 2x - \sin x = 0$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x - \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\sin x = 0$. Решением является $x = \pi k$.
2) $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$. Решением является $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
Объединяем обе серии корней.
Ответ: $x = \pi k; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin 2x - \cos x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\cos x = 0$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
2) $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. Решением является $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Объединяем обе серии корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

27.47. a) $\sin x \cos x = 1$;

б) $\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2}$;

В) $\cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$;

Г) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$.

а) Исходное уравнение: $ \sin x \cos x = 1 $.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.
Применим эту формулу к нашему уравнению, заменив $ \alpha $ на $ x $: $ \frac{1}{2} \sin(2x) = 1 $
Умножим обе части уравнения на 2: $ \sin(2x) = 2 $
Область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $. Поскольку $ 2 > 1 $, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) Исходное уравнение: $ \sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, где $ \alpha = 4x $. Тогда $ \sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 4x) = \frac{1}{2} \sin(8x) $.
Подставим это в исходное уравнение: $ \frac{1}{2} \sin(8x) = \frac{1}{2} $
Умножим обе части на 2: $ \sin(8x) = 1 $
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид: $ 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Разделим обе части на 8, чтобы найти $ x $: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi n}{8} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2} $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{3} $.
Тогда левая часть уравнения равна $ \cos(2 \cdot \frac{x}{3}) = \cos(\frac{2x}{3}) $.
Уравнение принимает вид: $ \cos(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{2} $
Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение: $ \frac{2x}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Поскольку $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $, получаем: $ \frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
Умножим обе части на $ \frac{3}{2} $, чтобы найти $ x $: $ x = \pm \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2} + 2\pi n \cdot \frac{3}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2} $.
Вынесем $ -1 $ за скобки в левой части уравнения: $ -(\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{2} $
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Уравнение принимает вид: $ -\cos(2x) = \frac{1}{2} $
Умножим обе части на $ -1 $: $ \cos(2x) = -\frac{1}{2} $
Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение: $ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Поскольку $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} $, получаем: $ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.