Страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.26. Докажите равенство:

a) $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$;

б) $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$.

Докажем равенство $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Для этого умножим и разделим ее на $\sin 10^\circ$ (это возможно, так как $\sin 10^\circ \neq 0$).

ЛЧ = $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{8 \sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Применим ее последовательно.

Сначала для $\alpha = 10^\circ$: $2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ = \sin(2 \cdot 10^\circ) = \sin 20^\circ$.

ЛЧ = $\frac{4 \cdot (2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Теперь для $\alpha = 20^\circ$: $2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin 40^\circ$.

ЛЧ = $\frac{2 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$.

И для $\alpha = 40^\circ$: $2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = \sin 80^\circ$.

ЛЧ = $\frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$.

Следовательно, левая часть равна:

ЛЧ = $\frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ$.

Мы получили правую часть равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$.

Докажем равенство $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$.

Сначала преобразуем произведение косинусов $P = 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

Умножим и разделим его на $\sin 20^\circ$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ трижды:

$P = \frac{8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$.

$P = \frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin(160^\circ)}{\sin 20^\circ}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Таким образом, $P = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1$.

Теперь левая часть исходного равенства (ЛЧ) принимает вид:

ЛЧ = $\sin 70^\circ + 1$.

Преобразуем правую часть равенства (ПЧ) $2 \cos^2 10^\circ$. Используем формулу понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$.

ПЧ = $2 \cos^2 10^\circ = 1 + \cos(2 \cdot 10^\circ) = 1 + \cos 20^\circ$.

Теперь нам нужно доказать, что ЛЧ = ПЧ, то есть $\sin 70^\circ + 1 = 1 + \cos 20^\circ$, что эквивалентно $\sin 70^\circ = \cos 20^\circ$.

Это равенство верно согласно формуле приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$:

$\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$.

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$.

27.27. Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Вычислите:

а) $\sin 2t$;

б) $\cos 2t$;

в) $\operatorname{tg} 2t$;

г) $\operatorname{ctg} 2t$.

По условию задачи нам дано, что $sin(t) = \frac{5}{13}$ и угол $t$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Для вычисления значений тригонометрических функций двойного угла нам понадобится значение $cos(t)$. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$.

$cos^2(t) = 1 - sin^2(t) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда $cos(t) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Поскольку угол $t$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, $cos(t) = -\frac{12}{13}$.

Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2t) = 2 \cdot sin(t) \cdot cos(t)$.

Подставляем известные значения $sin(t)$ и $cos(t)$:

$sin(2t) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 12}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169}$.

Ответ: $-\frac{120}{169}$.

Используем одну из формул косинуса двойного угла, например, выраженную через синус, так как $sin(t)$ дан в условии: $cos(2t) = 1 - 2sin^2(t)$.

Подставляем значение $sin(t)$:

$cos(2t) = 1 - 2 \cdot (\frac{5}{13})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} = 1 - \frac{50}{169} = \frac{169 - 50}{169} = \frac{119}{169}$.

Ответ: $\frac{119}{169}$.

Тангенс двойного угла можно найти как отношение синуса двойного угла к косинусу двойного угла: $tg(2t) = \frac{sin(2t)}{cos(2t)}$.

Используем результаты, полученные в пунктах а) и б):

$tg(2t) = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{169} \cdot \frac{169}{119} = -\frac{120}{119}$.

Ответ: $-\frac{120}{119}$.

Котангенс двойного угла можно найти как отношение косинуса двойного угла к синусу двойного угла: $ctg(2t) = \frac{cos(2t)}{sin(2t)}$.

Используем результаты из пунктов а) и б):

$ctg(2t) = \frac{119/169}{-120/169} = -\frac{119}{169} \cdot \frac{169}{120} = -\frac{119}{120}$.

Ответ: $-\frac{119}{120}$.

27.28. Известно, что $ \cos x = 0.8, 0 < x < \frac{\pi}{2} $. Вычислите:

а) $ \sin 2x; $

б) $ \cos 2x; $

в) $ \text{tg } 2x; $

г) $ \text{ctg } 2x. $

Поскольку по условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, угол $x$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса положительны.

Сначала найдем $sin x$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Нам дано, что $cos x = 0,8$.

$sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Так как $x$ находится в первой четверти, $sin x > 0$, поэтому $sin x = \sqrt{0,36} = 0,6$.

а) sin 2x;

Для вычисления $sin 2x$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2x = 2 \cdot sin x \cdot cos x$.

Подставим известные значения $sin x = 0,6$ и $cos x = 0,8$:

$sin 2x = 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 1,2 \cdot 0,8 = 0,96$.

Ответ: $0,96$.

б) cos 2x;

Для вычисления $cos 2x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Удобно использовать формулу, содержащую только косинус: $cos 2x = 2cos^2 x - 1$.

Подставим известное значение $cos x = 0,8$:

$cos 2x = 2 \cdot (0,8)^2 - 1 = 2 \cdot 0,64 - 1 = 1,28 - 1 = 0,28$.

Ответ: $0,28$.

в) tg 2x;

Тангенс двойного угла определяется как отношение синуса двойного угла к косинусу двойного угла: $tg 2x = \frac{sin 2x}{cos 2x}$.

Используем ранее вычисленные значения $sin 2x = 0,96$ и $cos 2x = 0,28$:

$tg 2x = \frac{0,96}{0,28} = \frac{96}{28}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$tg 2x = \frac{96 \div 4}{28 \div 4} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$.

г) ctg 2x;

Котангенс двойного угла является обратной величиной к тангенсу двойного угла: $ctg 2x = \frac{1}{tg 2x}$.

Используем результат из предыдущего пункта $tg 2x = \frac{24}{7}$:

$ctg 2x = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24}$.

Также можно было вычислить по формуле $ctg 2x = \frac{cos 2x}{sin 2x} = \frac{0,28}{0,96} = \frac{28}{96} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

27.29. Известно, что $ \text{tg } x = \frac{3}{4} $, $ 180^{\circ} < x < 270^{\circ} $. Вычислите:

а) $ \sin 2x $;

б) $ \cos 2x $;

в) $ \text{tg } 2x $;

г) $ \text{ctg } 2x $.

По условию дано, что $\text{tg} \, x = \frac{3}{4}$ и угол $x$ находится в третьей четверти ($180^\circ < x < 270^\circ$). В третьей четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения.

Для вычисления тригонометрических функций двойного угла нам понадобятся значения $\sin x$ и $\cos x$. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$

Отсюда следует, что $\cos^2 x = \frac{16}{25}$, а $\cos x = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$. Поскольку угол $x$ принадлежит третьей четверти, $\cos x$ должен быть отрицательным, поэтому $\cos x = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin x$, используя определение тангенса $\text{tg} \, x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\sin x = \text{tg} \, x \cdot \cos x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5}$. Это значение также отрицательно, что соответствует третьей четверти.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) sin 2x

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$\sin 2x = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$.

Ответ: $\frac{24}{25}$

б) cos 2x

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\cos 2x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Другой способ — использовать формулу, выражающую косинус двойного угла через тангенс: $\cos 2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$

в) tg 2x

Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg} \, 2x = \frac{2 \text{tg} \, x}{1 - \text{tg}^2 x}$.

$\text{tg} \, 2x = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7}$.

Также можно найти тангенс как отношение синуса к косинусу: $\text{tg} \, 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$

г) ctg 2x

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg} \, 2x = \frac{1}{\text{tg} \, 2x}$.

$\text{ctg} \, 2x = \frac{1}{24/7} = \frac{7}{24}$.

Также можно найти котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg} \, 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$

27.30. a) Известно, что $\cos t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите:

$\cos \frac{t}{2}$, $\sin \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{t}{2}$.

б) Известно, что $\operatorname{ctg} t = \frac{3}{4}$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите:

$\cos \frac{t}{2}$, $\sin \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{t}{2}$.

а)

По условию дано, что $ \cos t = \frac{3}{4} $ и угол $t$ находится в интервале $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{t}{2} $. Для этого разделим неравенство на 2: $ 0 < \frac{t}{2} < \frac{\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{t}{2} $ находится в первой координатной четверти. В первой четверти все тригонометрические функции ($ \cos, \sin, \operatorname{tg}, \operatorname{ctg} $) имеют положительные значения.

Для вычислений будем использовать формулы половинного угла.

Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $:

$ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4+3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $

Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \cos \frac{t}{2} $ положителен.$ \cos \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $.

Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $:

$ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4-3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $

Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \sin \frac{t}{2} $ положителен.$ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $.

Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{t}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7} $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \sqrt{7} $.

б)

По условию дано, что $ \operatorname{ctg} t = \frac{3}{4} $ и угол $t$ находится в интервале $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{t}{2} $. Разделив неравенство на 2, получим: $ \frac{\pi}{2} < \frac{t}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{t}{2} $ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти $ \sin \frac{t}{2} > 0 $, а $ \cos \frac{t}{2} < 0 $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} < 0 $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} < 0 $.

Для использования формул половинного угла нам необходимо найти значение $ \cos t $. Угол $t$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $.

$ \frac{1}{\sin^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} $

Отсюда $ \sin^2 t = \frac{16}{25} $. Так как $t$ в третьей четверти, $ \sin t < 0 $, следовательно $ \sin t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем $ \cos t $ по формуле $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $:

$ \cos t = \sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{5} $.

Теперь, зная $ \cos t $, мы можем вычислить значения для $ \frac{t}{2} $.

Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $:

$ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} $

Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \cos \frac{t}{2} $ отрицателен: $ \cos \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $:

$ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5} $

Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \sin \frac{t}{2} $ положителен: $ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 $.

Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $:

$ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{t}{2}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = -2 $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = -\frac{1}{2} $.

27.31 a) Известно, что $ \sin 2x = - \frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < x < \pi $. Вычислите:

$ \cos x, \sin x, \tan x, \cot x $.

б) Известно, что $ \tan 2x = \frac{3}{4}, \pi < x < \frac{5\pi}{4} $. Вычислите:

$ \cos x, \sin x, \tan x, \cot x $.

а)

По условию задачи, угол $x$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($sin(x) > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны ($cos(x) < 0, tg(x) < 0, ctg(x) < 0$).

Для нахождения искомых значений воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой через тангенс. Формула синуса двойного угла через тангенс одинарного угла выглядит так: $sin(2x) = \frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}$

Пусть $T = tg(x)$. Подставим заданное значение $sin(2x) = -\frac{3}{5}$ в формулу: $-\frac{3}{5} = \frac{2T}{1+T^2}$

Решим полученное уравнение относительно $T$: $-3(1+T^2) = 5(2T)$
$-3 - 3T^2 = 10T$
$3T^2 + 10T + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$T_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$T_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Оба полученных значения для $tg(x)$ отрицательны, что не противоречит условию нахождения угла $x$ во второй четверти. Это означает, что задача имеет два возможных набора решений в зависимости от того, в какой части второй четверти находится угол $x$ (до или после $\frac{3\pi}{4}$).

Случай 1: $tg(x) = -3$

- $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = -\frac{1}{3}$.

- Найдем $cos(x)$ из основного тригонометрического тождества, связывающего тангенс и косинус: $1+tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$.
$cos^2(x) = \frac{1}{1+tg^2(x)} = \frac{1}{1+(-3)^2} = \frac{1}{10}$.
Так как $x$ находится во второй четверти, $cos(x)$ отрицателен: $cos(x) = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

- Найдем $sin(x)$ из определения тангенса: $sin(x) = tg(x) \cdot cos(x)$.
$sin(x) = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Случай 2: $tg(x) = -\frac{1}{3}$

- $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = -3$.

- Найдем $cos(x)$:
$cos^2(x) = \frac{1}{1+tg^2(x)} = \frac{1}{1+(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.
Так как $cos(x) < 0$, то $cos(x) = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

- Найдем $sin(x)$:
$sin(x) = tg(x) \cdot cos(x) = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3\sqrt{10}}{10}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ:
Первый набор решений: $cos(x) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $sin(x) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $tg(x) = -3$, $ctg(x) = -\frac{1}{3}$.
Второй набор решений: $cos(x) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $sin(x) = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $tg(x) = -\frac{1}{3}$, $ctg(x) = -3$.

б)

По условию, угол $x$ находится в интервале $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны ($sin(x) < 0, cos(x) < 0$), а тангенс и котангенс положительны ($tg(x) > 0, ctg(x) > 0$).

Используем формулу тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1-tg^2(x)}$

Пусть $T = tg(x)$. Подставим заданное значение $tg(2x) = \frac{3}{4}$ в формулу: $\frac{3}{4} = \frac{2T}{1-T^2}$

Решим полученное уравнение относительно $T$: $3(1-T^2) = 4(2T)$
$3 - 3T^2 = 8T$
$3T^2 + 8T - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$T_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$T_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Так как угол $x$ находится в третьей четверти, его тангенс должен быть положительным. Поэтому мы выбираем корень $T_2 = \frac{1}{3}$. Итак, $tg(x) = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем остальные тригонометрические функции.

- $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = \frac{1}{1/3} = 3$.

- Найдем $cos(x)$ из тождества $1+tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$:
$cos^2(x) = \frac{1}{1+tg^2(x)} = \frac{1}{1+(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.
Так как $x$ находится в третьей четверти, $cos(x)$ отрицателен: $cos(x) = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

- Найдем $sin(x)$ из $sin(x) = tg(x) \cdot cos(x)$:
$sin(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{3\sqrt{10}}{10}) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $cos(x) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $sin(x) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $tg(x) = \frac{1}{3}$, $ctg(x) = 3$.

27.32. a) Зная, что $tg \frac{x}{2} = a$, найдите $sin \frac{2x - \pi}{2}$, $cos \frac{2x + \pi}{2}$;

б) зная, что $tg \frac{x}{4} = a$, найдите $sin \frac{x - 3\pi}{2}$, $cos \frac{x + 3\pi}{2}$.

а) Дано, что $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = a$. Необходимо найти $\sin\frac{2x-\pi}{2}$ и $\cos\frac{2x+\pi}{2}$.

Сначала преобразуем аргументы искомых тригонометрических функций и применим формулы приведения.
1. $\sin\frac{2x-\pi}{2} = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos\alpha$, получаем: $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x$.
2. $\cos\frac{2x+\pi}{2} = \cos(x + \frac{\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$, получаем: $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$.

Теперь задача сводится к нахождению $-\cos x$ и $-\sin x$. Для этого выразим $\sin x$ и $\cos x$ через тангенс половинного угла, используя формулы универсальной тригонометрической подстановки и данное условие $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = a$:
$\sin x = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2a}{1+a^2}$
$\cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$

Подставим полученные выражения в результаты, полученные после применения формул приведения:
1. $\sin\frac{2x-\pi}{2} = -\cos x = - \left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right) = \frac{a^2-1}{1+a^2}$
2. $\cos\frac{2x+\pi}{2} = -\sin x = -\frac{2a}{1+a^2}$

Ответ: $\sin\frac{2x-\pi}{2} = \frac{a^2-1}{a^2+1}$; $\cos\frac{2x+\pi}{2} = -\frac{2a}{1+a^2}$.

б) Дано, что $\operatorname{tg}\frac{x}{4} = a$. Необходимо найти $\sin\frac{x-3\pi}{2}$ и $\cos\frac{x+3\pi}{2}$.

Сначала преобразуем аргументы искомых тригонометрических функций и применим формулы приведения.
1. $\sin\frac{x-3\pi}{2} = \sin(\frac{x}{2} - \frac{3\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos\alpha$, получаем: $\sin(\frac{x}{2} - \frac{3\pi}{2}) = \cos\frac{x}{2}$.
2. $\cos\frac{x+3\pi}{2} = \cos(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin\alpha$, получаем: $\cos(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2}) = \sin\frac{x}{2}$.

Теперь задача сводится к нахождению $\cos\frac{x}{2}$ и $\sin\frac{x}{2}$. Выразим $\sin\frac{x}{2}$ и $\cos\frac{x}{2}$ через тангенс половинного для них угла, то есть через $\operatorname{tg}\frac{x}{4} = a$, используя формулы универсальной тригонометрической подстановки:
$\sin \frac{x}{2} = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{4}} = \frac{2a}{1+a^2}$
$\cos \frac{x}{2} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{4}} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$

Таким образом, мы находим искомые значения:
1. $\sin\frac{x-3\pi}{2} = \cos\frac{x}{2} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$
2. $\cos\frac{x+3\pi}{2} = \sin\frac{x}{2} = \frac{2a}{1+a^2}$

Ответ: $\sin\frac{x-3\pi}{2} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$; $\cos\frac{x+3\pi}{2} = \frac{2a}{1+a^2}$.

27.33. a) Зная, что $\cos 4x = -\frac{527}{625}$, $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, вычислите $\sin x$;

б) зная, что $\cos 4x = \frac{17}{81}$, $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$, вычислите $\operatorname{tg} x$.

а)

Нам дано, что $cos(4x) = -\frac{527}{625}$ и $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$.
Мы будем использовать формулы косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1$ и $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.
Сначала найдем $cos(2x)$. Применим первую формулу для $\alpha = 2x$:$
$cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1$
Подставим известное значение $cos(4x)$:
$-\frac{527}{625} = 2cos^2(2x) - 1$
$2cos^2(2x) = 1 - \frac{527}{625} = \frac{625 - 527}{625} = \frac{98}{625}$
$cos^2(2x) = \frac{98}{2 \cdot 625} = \frac{49}{625}$
Теперь определим знак $cos(2x)$. Из условия $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, умножив неравенство на 2, получаем $\frac{\pi}{2} < 2x < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $cos(2x) = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$.
Теперь используем вторую формулу, чтобы найти $sin(x)$:
$cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$
Подставим найденное значение $cos(2x)$:
$-\frac{7}{25} = 1 - 2sin^2(x)$
$2sin^2(x) = 1 - (-\frac{7}{25}) = 1 + \frac{7}{25} = \frac{25+7}{25} = \frac{32}{25}$
$sin^2(x) = \frac{32}{2 \cdot 25} = \frac{16}{25}$
Определим знак $sin(x)$. Из условия $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ следует, что угол $x$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен.
Следовательно, $sin(x) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

б)

Нам дано, что $cos(4x) = \frac{17}{81}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$.
Сначала найдем $cos(2x)$, используя формулу $cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1$.
$\frac{17}{81} = 2cos^2(2x) - 1$
$2cos^2(2x) = 1 + \frac{17}{81} = \frac{81 + 17}{81} = \frac{98}{81}$
$cos^2(2x) = \frac{98}{2 \cdot 81} = \frac{49}{81}$
Определим знак $cos(2x)$. Из условия $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$, умножив неравенство на 2, получаем $\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $cos(2x) = -\sqrt{\frac{49}{81}} = -\frac{7}{9}$.
Теперь найдем $tg(x)$. Используем формулу, связывающую тангенс угла с косинусом двойного угла: $tg^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$.
Применим эту формулу для $\alpha = x$:
$tg^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{1 + cos(2x)}$
Подставим найденное значение $cos(2x)$:
$tg^2(x) = \frac{1 - (-\frac{7}{9})}{1 + (-\frac{7}{9})} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{1 - \frac{7}{9}} = \frac{\frac{9+7}{9}}{\frac{9-7}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{16}{2} = 8$
Определим знак $tg(x)$. Из условия $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$ следует, что угол $x$ находится во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен.
Следовательно, $tg(x) = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $-2\sqrt{2}$.

27.34. Вычислите $sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$, если:

a) $sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = a;$

б) $cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = a.$

а)

Для решения этой задачи нам нужно выразить $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $ через данное выражение $ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = a $.
Ключевая идея состоит в том, чтобы использовать формулы двойного угла и формулы приведения.
Давайте сделаем замену. Пусть $ y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} $. По условию, $ \sin(y) = a $.
Теперь выразим $ x $ через $ y $:
$ \frac{x}{2} = y + \frac{\pi}{6} \implies x = 2y + \frac{\pi}{3} $.
Подставим это выражение для $ x $ в искомую функцию:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2y + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{\pi}{2}\right) $.
Теперь применим формулу приведения $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha) $:
$ \sin\left(2y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(2y) $.
Мы знаем $ \sin(y) = a $, и нам нужно найти $ \cos(2y) $. Используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает косинус двойного угла с синусом одинарного угла:
$ \cos(2y) = 1 - 2\sin^2(y) $.
Подставляя известное значение $ \sin(y) = a $, получаем:
$ \cos(2y) = 1 - 2a^2 $.
Таким образом, $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - 2a^2 $.
Ответ: $ 1 - 2a^2 $.

б)

В этом случае нам нужно вычислить $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $, используя условие $ \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a $.
Метод решения аналогичен предыдущему пункту.
Сделаем замену. Пусть $ z = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} $. По условию, $ \cos(z) = a $.
Выразим $ x $ через $ z $:
$ \frac{x}{2} = z - \frac{\pi}{3} \implies x = 2z - \frac{2\pi}{3} $.
Подставим это выражение для $ x $ в искомую функцию:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2z - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{\pi}{2}\right) $.
Применим формулу приведения $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) $:
$ \sin\left(2z - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(2z) $.
Мы знаем $ \cos(z) = a $, и нам нужно найти $ -\cos(2z) $. Используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает косинус двойного угла с косинусом одинарного угла:
$ \cos(2z) = 2\cos^2(z) - 1 $.
Подставляя известное значение $ \cos(z) = a $, получаем:
$ \cos(2z) = 2a^2 - 1 $.
Следовательно, искомое значение равно:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos(2z) = -(2a^2 - 1) = 1 - 2a^2 $.
Ответ: $ 1 - 2a^2 $.