Номер 27.27, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.27. Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Вычислите:

а) $\sin 2t$;

б) $\cos 2t$;

в) $\operatorname{tg} 2t$;

г) $\operatorname{ctg} 2t$.

По условию задачи нам дано, что $sin(t) = \frac{5}{13}$ и угол $t$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Для вычисления значений тригонометрических функций двойного угла нам понадобится значение $cos(t)$. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$.

$cos^2(t) = 1 - sin^2(t) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда $cos(t) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Поскольку угол $t$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, $cos(t) = -\frac{12}{13}$.

Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2t) = 2 \cdot sin(t) \cdot cos(t)$.

Подставляем известные значения $sin(t)$ и $cos(t)$:

$sin(2t) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 12}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169}$.

Ответ: $-\frac{120}{169}$.

Используем одну из формул косинуса двойного угла, например, выраженную через синус, так как $sin(t)$ дан в условии: $cos(2t) = 1 - 2sin^2(t)$.

Подставляем значение $sin(t)$:

$cos(2t) = 1 - 2 \cdot (\frac{5}{13})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} = 1 - \frac{50}{169} = \frac{169 - 50}{169} = \frac{119}{169}$.

Ответ: $\frac{119}{169}$.

Тангенс двойного угла можно найти как отношение синуса двойного угла к косинусу двойного угла: $tg(2t) = \frac{sin(2t)}{cos(2t)}$.

Используем результаты, полученные в пунктах а) и б):

$tg(2t) = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{169} \cdot \frac{169}{119} = -\frac{120}{119}$.

Ответ: $-\frac{120}{119}$.

Котангенс двойного угла можно найти как отношение косинуса двойного угла к синусу двойного угла: $ctg(2t) = \frac{cos(2t)}{sin(2t)}$.

Используем результаты из пунктов а) и б):

$ctg(2t) = \frac{119/169}{-120/169} = -\frac{119}{169} \cdot \frac{169}{120} = -\frac{119}{120}$.

Ответ: $-\frac{119}{120}$.