Номер 27.26, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.26. Докажите равенство:

a) $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$;

б) $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$.

Докажем равенство $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Для этого умножим и разделим ее на $\sin 10^\circ$ (это возможно, так как $\sin 10^\circ \neq 0$).

ЛЧ = $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{8 \sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Применим ее последовательно.

Сначала для $\alpha = 10^\circ$: $2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ = \sin(2 \cdot 10^\circ) = \sin 20^\circ$.

ЛЧ = $\frac{4 \cdot (2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Теперь для $\alpha = 20^\circ$: $2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin 40^\circ$.

ЛЧ = $\frac{2 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$.

И для $\alpha = 40^\circ$: $2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = \sin 80^\circ$.

ЛЧ = $\frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$.

Следовательно, левая часть равна:

ЛЧ = $\frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ$.

Мы получили правую часть равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$.

Докажем равенство $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$.

Сначала преобразуем произведение косинусов $P = 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

Умножим и разделим его на $\sin 20^\circ$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ трижды:

$P = \frac{8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$.

$P = \frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin(160^\circ)}{\sin 20^\circ}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Таким образом, $P = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1$.

Теперь левая часть исходного равенства (ЛЧ) принимает вид:

ЛЧ = $\sin 70^\circ + 1$.

Преобразуем правую часть равенства (ПЧ) $2 \cos^2 10^\circ$. Используем формулу понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$.

ПЧ = $2 \cos^2 10^\circ = 1 + \cos(2 \cdot 10^\circ) = 1 + \cos 20^\circ$.

Теперь нам нужно доказать, что ЛЧ = ПЧ, то есть $\sin 70^\circ + 1 = 1 + \cos 20^\circ$, что эквивалентно $\sin 70^\circ = \cos 20^\circ$.

Это равенство верно согласно формуле приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$:

$\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$.

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$.